Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
| Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом. |
| при следующих ограничениях |
 | 3 x1 | + 4 x2 |  | 18 | | 3 x1 | - x2 | | 3 | | | x2 |  | 6 | | 2 x1 | + x2 | | 18 | | 4 x1 | - x2 | | 24 |
| В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2 , которые удовлетворяют системе ограничений.
По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е. мы рассматриваем только те точки , которые принадлежат первой четверти. |
| Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений. |
| 3 x1 | + 4 x2 | | 18 |
| Заменим знак неравенства на знак равенства . |
| Преобразуем уравнение следующим образом . |
| Каждый член уравнения разделим на 18 . |
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X1 рисуем точку с координатой 6 .
На оси X2 рисуем точку с координатой 9/2 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую. |
| Какие точки нас интересуют? |
| 3 x1 | + 4 x2 | | 18 |
| 4 x2 | | -3 x1 | + 18 |
| x2 | | -3/4 x1 | + 9/2 |
| Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой. |
| Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа. |
| Область допустимых значений выделена штриховкой. |
| Точки принадлежащие области допустимых значений: |
|
| |
| Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений. |
| 3 x1 | - x2 | | 3 |
| Заменим знак неравенства на знак равенства . |
| Преобразуем уравнение следующим образом . |
| Каждый член уравнения разделим на 3 . |
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X1 рисуем точку с координатой 1 .
На оси X2 рисуем точку с координатой -3 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую. |
| Какие точки нас интересуют? |
| 3 x1 | - x2 | | 3 |
| -3 x1 | + x2 | | -3 |
| x2 | | 3 x1 | - 3 |
| Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой. |
| Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа. |
| Область допустимых значений выделена штриховкой. |
| Точки принадлежащие области допустимых значений: |
|
| |
| Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений. |
| | x2 | | 6 |
| Заменим знак неравенства на знак равенства . |
| Прямая проходит параллельно оси X1. |
| Какие точки нас интересуют? |
| | x2 | | 6 |
| Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой. |
| Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа. |
| Область допустимых значений выделена штриховкой. |
| Точки принадлежащие области допустимых значений: |
|
| |
| Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений. |
| 2 x1 | + x2 | | 18 |
| Заменим знак неравенства на знак равенства . |
| Преобразуем уравнение следующим образом . |
| Каждый член уравнения разделим на 18 . |
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X1 рисуем точку с координатой 9 .
На оси X2 рисуем точку с координатой 18 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую. |
| Какие точки нас интересуют? |
| 2 x1 | + x2 | | 18 |
| x2 | | -2 x1 | + 18 |
| Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой. |
| Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа. |
| Область допустимых значений выделена штриховкой. |
| Точки принадлежащие области допустимых значений: |
|
| |
| Рассмотрим неравенство 5 системы ограничений. |
| 4 x1 | - x2 | | 24 |
| Заменим знак неравенства на знак равенства . |
| Преобразуем уравнение следующим образом . |
| Каждый член уравнения разделим на 24 . |
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X1 рисуем точку с координатой 6 .
На оси X2 рисуем точку с координатой -24 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую. |
| Какие точки нас интересуют? |
| 4 x1 | - x2 | | 24 |
| -4 x1 | + x2 | | -24 |
| x2 | | 4 x1 | - 24 |
| Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой. |
| Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа. |
| Область допустимых значений выделена штриховкой. |
| Точки принадлежащие области допустимых значений: |
|
| |
| Вернемся к нашей исходной функции L . |
| Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда |
| Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно,
что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору |
| Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору |
| Построим вектор | | = (8 , 4) | | ON |
| На рисунке правее, вектор | | изображен красным цветом. | | ON |
| Вектор | | нарисован не в масштабе, | | ON | | исключительно для большей наглядности. |
| Причем очевидно, что значение функции будет возрастать |
| при перемещении прямой в направлении вектора | | . | | ON | | Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N. |
| Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору | | , | | ON | | до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений. |
| В нашем случае, касание прямой, перед выходом из области допустимых решений, произойдет в отрезке FG , где F (6 , 6) G (7 , 4). В любой точке отрезка FG значение нашей функции будет наибольшим. |
|
|
Наибольшее значение функция достигает при
x1 = t1 * 6 + t2 * 7
x2 = t1 * 6 + t2 * 4
где t1 + t2 = 1
t1 0 , t2 0. |
| Значение функции : L = 72 |
|
