Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №7. Функции не является ограниченной.


Графический метод решения задачи линейного программирования.
Пример №1. Функция достигает наибольшего значения в точке. Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке.
Пример №3. Функция достигает наибольшего значения на отрезке. Пример №4. Функция достигает наименьшего значения на отрезке.
Пример №5. Функция достигает наибольшего значения на луче. Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче.
Пример №7. Функции не является ограниченной.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом.
L =  3 x1 + x2
при следующих ограничениях
3 x1 + 4 x2 18
3 x1 - x2 3
x1 - x2 16

Решение :
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2 , которые удовлетворяют системе ограничений. По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е. мы рассматриваем только те точки , которые принадлежат первой четверти.
Шаг 1
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
3 x1 + 4 x2 18 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    3 x1 + 4 x2 = 18 
    Преобразуем уравнение следующим образом .
    x1 + x2 = 18
    1/3 1/4
    Каждый член уравнения разделим на 18 .
    x1 + x2 = 1
    6 9/2
    Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
    На оси X1 рисуем точку с координатой 6 .
    На оси X2 рисуем точку с координатой 9/2 .
    Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
  • Какие точки нас интересуют?
    • 3 x1 + 4 x2 18 
    4 x2 -3 x1 + 18
    x2 -3/4 x1 + 9/2
    Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (6 , 0)
    B (0 , 9/2)


    график для печати...

    Шаг 2
    Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
    3 x1 - x2 3 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    3 x1 - x2 = 3 
    Преобразуем уравнение следующим образом .
    x1 + x2 = 3
    1/3 -1
    Каждый член уравнения разделим на 3 .
    x1 + x2 = 1
    1 -3
    Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
    На оси X1 рисуем точку с координатой 1 .
    На оси X2 рисуем точку с координатой -3 .
    Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
  • Какие точки нас интересуют?
    • 3 x1 - x2 3 
    -3 x1 + x2 -3 
    x2 3 x1 - 3
    Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (6 , 0)
    C (2 , 3)


    график для печати...

    Шаг 3
    Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
    x1 - x2 16 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    x1 - x2 = 16 
    Преобразуем уравнение следующим образом .
    x1 + x2 = 16
    1 -1
    Каждый член уравнения разделим на 16 .
    x1 + x2 = 1
    16 -16
    Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
    На оси X1 рисуем точку с координатой 16 .
    На оси X2 рисуем точку с координатой -16 .
    Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
  • Какие точки нас интересуют?
    • x1 - x2 16 
    - x1 + x2 -16 
    x2 x1 - 16
    Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (6 , 0)
    D (16 , 0)
    C (2 , 3)


    график для печати...

    Шаг 4
    Вернемся к нашей исходной функции L .
    L =  3 x1 + x2
    Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда
    1 =  3 x1 + x2
    Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
    = (3 ,1).
    ON 
    Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
    = (3 ,1).
    ON 
    Построим вектор = (3 , 1)
    ON 
    На рисунке правее, вектор     изображен красным цветом.
    ON
    Вектор     нарисован не в масштабе,
    ON
    исключительно для большей наглядности.
    Причем очевидно, что значение функции будет возрастать
    при перемещении прямой в направлении вектора  .
    ON
    Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.
    Обратите внимание на рисунок расположенный справа.
    Мы не можем найти положение прямой, перпендикулярной вектору,
    ON
    при котором прямая пересечет область допустимых значений непосредственно перед выходом из нее. Другими словами , наша функция не ограничена, т.е. не обладает набольшим значением.


    график для печати...


    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100