 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №6. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Функция достигает наименьшего значения на луче
F = 3 x1 - x2
при следующих ограничениях:
 | x1 | - | x2 | ≤ | 8 | |
| 3 x1 | - | x2 | ≥ | 3 | ||
| 2 x1 | + | x2 | ≥ | 4 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 4 - шаг 5)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
x1 - x2 ≤ 8
Построим прямую: x1 - x2 = 8
Пусть x1 =0 => - x2 = 8 => x2 = -8
Пусть x2 =0 => x1 = 8
Найдены коородинаты двух точек (0, -8) и (8 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 - x2 ≤ 8
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≤ - x1 + 8
x2 ≥ x1 - 8
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
3 x1 - x2 ≥ 3
Построим прямую: 3 x1 - x2 = 3
Пусть x1 =0 => - x2 = 3 => x2 = -3
Пусть x2 =0 => 3 x1 = 3 => x1 = 1
Найдены коородинаты двух точек (0, -3) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
3 x1 - x2 ≥ 3
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≥ - 3 x1 + 3
x2 ≤ 3 x1 - 3
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
2 x1 + x2 ≥ 4
Построим прямую: 2 x1 + x2 = 4
Пусть x1 =0 => x2 = 4
Пусть x2 =0 => 2 x1 = 4 => x1 = 2
Найдены коородинаты двух точек (0, 4) и (2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.
2 x1 + x2 ≥ 4
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
x2 ≥ - 2 x1 + 4
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Строим вектор C = (3, -1), координатами которого являются коэффициенты функции F.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого верхнего угла к правому нижнему.
"Красная" прямая называется линией уровня. В каждой точке линии уровня значение функции F есть величина постоянная.В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.
В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.
Есть предположение, что функция F достигает наименьшего значения на луче, который имеет свое начало в точке А (см. рисунок).
Проверим это предположение.
Найдем координаты точки A.
Точка A одновременно принадлежит прямым (2) и (3).
| 3 x1 | - | x2 | = | 3 | => | x1 = 7/5 | |
| 2 x1 | + | x2 | = | 4 | x2 = 6/5 |
Вычислим значение функции F в точке A (7/5,6/5).
F (A) = 3 * 7/5 - 1 * 6/5 = 3
На основании уравнения прямой (2) на которой находится луч, имеющей свое начало в точке А, можно записать параметрическое уравнение луча следующим образом:
x1 = 7/5 + 1 * t
x2 = 6/5 + 3 * t
где t ≥ 0
Предположим, что при t = 1 мы имеет точку В.
Найдем координаты точки B.
x1 = 7/5 + 1 * 1 = 12/5
x2 = 6/5 + 3 * 1 = 21/5
Вычислим значение функции F в точке B (12/5,21/5).
F (B) = 3 * 12/5 - 1 * 21/5 = 3
F(A) = F(B)
Тогда можно сделать вывод, что и в любой точке луча, имеющего свое начало в точке А, функция F достигает своего наименьшего значения.
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}