WWW.RESHMAT.RU

Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ КНИГИ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке.

Графический метод решения задачи линейного программирования.
Пример №1. Функция достигает наибольшего значения в точке. Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке.
Пример №3. Функция достигает наибольшего значения на отрезке. Пример №4. Функция достигает наименьшего значения на отрезке.
Пример №5. Функция достигает наибольшего значения на луче. Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче.
Пример №7. Функции не является ограниченной.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Найдем наименьшее значение линейной функции графическим методом.
L =  12 x1 + 4 x2
при следующих ограничениях
x1 + x2 2
x1   1/2
  x2 3
x1 - x2 0

Решение :
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2 , которые удовлетворяют системе ограничений. По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е. мы рассматриваем только те точки , которые принадлежат первой четверти.
Шаг 1
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
x1 + x2 2 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    x1 + x2 = 2 
    Преобразуем уравнение следующим образом .
    x1 + x2 = 2
    1 1
    Каждый член уравнения разделим на 2 .
    x1 + x2 = 1
    2 2
    Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
    На оси X1 рисуем точку с координатой 2 .
    На оси X2 рисуем точку с координатой 2 .
    Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
  • Какие точки нас интересуют?
    • x1 + x2 2 
    x2 - x1 + 2
    Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (2 , 0)
    B (0 , 2)


    график для печати...

    Шаг 2
    Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
    x1   1/2 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    x1   = 1/2 
    Прямая проходит параллельно оси X2.
  • Какие точки нас интересуют?
    • x1   1/2 
    Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие правее построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (2 , 0)
    C (1/2 , 3/2)


    график для печати...

    Шаг 3
    Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
      x2 3 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
      x2 = 3 
    Прямая проходит параллельно оси X1.
  • Какие точки нас интересуют?
    •   x2 3 
    Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    A (2 , 0)
    C (1/2 , 3/2)
    D (1/2 , 3)


    график для печати...

    Шаг 4
    Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.
    x1 - x2 0 
  • Построим прямую.
    • Заменим знак неравенства на знак равенства .
    x1 - x2 = 0 
    - x2 = - x1
    x2 = x1
    Прямая проходит через начало координат.
  • Какие точки нас интересуют?
    • x1 - x2 0 
    - x1 + x2 0 
    x2 x1
    Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
  • Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
    • Область допустимых значений выделена штриховкой.
    Точки принадлежащие области допустимых значений:
    C (1/2 , 3/2)
    E (1 , 1)
    D (1/2 , 3)
    F (3 , 3)


    график для печати...

    Шаг 5
    Вернемся к нашей исходной функции L .
    L =  12 x1 + 4 x2
    Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда
    1 =  12 x1 + 4 x2
    Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
    = (12 ,4).
    ON 
    Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
    = (12 ,4).
    ON 
    Построим вектор = (12 , 4)
    ON 
    На рисунке правее, вектор     изображен красным цветом.
    ON
    Вектор     нарисован не в масштабе,
    ON
    исключительно для большей наглядности.
    Причем очевидно, что значение функции будет возрастать
    при перемещении прямой в направлении вектора  .
    ON
    Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.
    Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору  ,
    ON
    до тех пор пока, она не коснется области допустимых решений.
    В нашем случае, первое касание прямой области допустимых решений произойдет в точке C (1/2 , 3/2). В данной точке значение функции будет наименьшим.


    график для печати...

    Ответ :
    Наименьшее значение функция достигает при
    x1 = 1/2
    x2 = 3/2.
    Значение функции : L = 12

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2011, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100