Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Пример №1. Решение системы линейных уравнений второго порядка методом Крамера.
Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.
Другие примеры:     3     4     5     6     7     8     9     10  
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы 5 x1 - 2 x2 - 2 x3 = 3
3 x1 + 2 x2 + x3 = 3
x1 + x2 - x3 = -2
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =5-2-2 =
321
11-1
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= 5 - 1 * 2-2 - 1 * 2-2 - ( -1) * 2 =
321
11-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 3-40 =
321
11-1
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3. (Подробнее)
= 3-40 =
3 + 12 + 11 + ( -1)
11-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 3-40 =
430
11-1

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
3-40
430
11-1
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
43
11
3-40
430
11-1
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
3-4
11
3-40
430
11-1
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * -1 *
3-4
43
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 3 * ( -1) * 3-4=
43
= - 3-4=
43
= - ( 3 * 3 - ( -4) * 4 ) =
= - ( 9 + 16 ) =
= -25
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =3-2-2 =
321
-21-1
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= 3 + ( -2) * 2-2 + 1 * 2-2 + ( -1) * 2 =
321
-21-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -10-4 =
321
-21-1
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= -10-4 =
3 - ( -2) * 22 - 1 * 21 - ( -1) * 2
-21-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -10-4 =
703
-21-1

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
-10-4
703
-21-1
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 0 *
73
-2-1
-10-4
703
-21-1
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-1-4
-2-1
-10-4
703
-21-1
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 1 *
-1-4
73
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 2 * 1 * -1-4=
73
= - -1-4=
73
= - ( -1 * 3 - ( -4) * 7 ) =
= - ( -3 + 28 ) =
= -25

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =53-2 =
331
1-2-1
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2. (Подробнее)
= 5 - 33-2 =
3 - 331
1 - ( -2) -2-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 23-2 =
031
3-2-1
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 23 - ( -2) * 3-2 =
03 - 1 * 31
3-2 - ( -1) * 3-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 29-2 =
001
31-1

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
29-2
001
31-1
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
9-2
1-1
29-2
001
31-1
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
2-2
3-1
29-2
001
31-1
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 1 *
29
31
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * 1 * 29=
31
= - 29=
31
= - ( 2 * 1 - 9 * 3 ) =
= - ( 2 - 27 ) =
= 25

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =5-23 =
323
11-2
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2. (Подробнее)
= 5 - 3-2 - 23 - 3 =
323
11-2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 2-40 =
323
11-2
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 2-4 + 2 * 20 =
32 + 3 * 23
11 + 1 * 2-2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 200 =
383
13-2

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
200
383
13-2
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 2 *
83
3-2
200
383
13-2
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 0 *
33
1-2
200
383
13-2
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
38
13
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 2 * 83=
3-2
= 2 * 83=
3-2
= 2 * ( 8 * ( -2) - 3 * 3 ) =
= 2 * ( -16 - 9 ) =
= -50

Ответ:

x1 = -25 / -25 = 1
x2 = 25 / -25 = -1
x3 = -50 / -25 = 2










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки