Сервис для решения задач по линейному программированию

Пусть хорошие люди смотрят хорошие решения
English

Пример №1. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.
Нахождение наибольшего значения функции

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Задача:

Найти наибольшее значение функции
F = 3 x1 + 4 x2
при следующих ограничениях:
Знак системы x1 + x2 55
2 x1 + 3 x2 120
12 x1 + 30 x2 960
x1 ≥ 0    x2 ≥ 0    

Решение:

1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.

2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
Знак системы x1 + x2 55
2 x1 + 3 x2 120
12 x1 + 30 x2 960
Знак системы x1 + x2 + S1 = 55
2 x1 + 3 x2 + S2 = 120
12 x1 + 30 x2 + S3 = 960
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0.   Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.

3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.

Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.

В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.

В нашей системе есть базис?
Знак системы x1 + x2 + S1 = 55
2 x1 + 3 x2 + S2 = 120
12 x1 + 30 x2 + S3 = 960
Базис есть, т.е. мы можем начать решение.
F = 3 x1 + 4 x2
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно.
x1 = 0   x2 = 0  
S1 = 55   S2 = 120   S3 = 960  
=> F = 0
Начальный базис найден и получено значение функции F, соответствующее найденному базису.

4. Нахождение наибольшего значения функции F.

Шаг №1
x1 x2 S1 S2 S3 св. член Θ
1 1 1 0 0 55 55 : 1 = 55
2 3 0 1 0 120 120 : 2 = 60
12 30 0 0 1 960 960 : 12 = 80
3 4 0 0 0 F - 0
1 1 1 0 0 55
0 1 -2 1 0 10
0 18 -12 0 1 300
0 1 -3 0 0 F - 165
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
x2 = 0   S1 = 0  
x1 = 55   S2 = 10   S3 = 300  
=> F - 165 = 0   => F = 165

Шаг №2
x1 x2 S1 S2 S3 св. член Θ
1 1 1 0 0 55 55 : 1 = 55
0 1 -2 1 0 10 10 : 1 = 10
0 18 -12 0 1 300 300 : 18 ≈ 16,67
0 1 -3 0 0 F - 165
1 0 3 -1 0 45
0 1 -2 1 0 10
0 0 24 -18 1 120
0 0 -1 -1 0 F - 175
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
S1 = 0   S2 = 0  
x1 = 45   x2 = 10   S3 = 120  
=> F - 175 = 0   => F = 175
Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F.
Ответ:

x1 = 45   x2 = 10  

Fmax = 175


Это интересно:
На каждом шаге значение функции изменяется на величину равную произведению выбранного коэффициента выделенной строки на Θmin. Если числа позволяют, можете в этом убедиться самостоятельно.








© 2010-2020 Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите matematika1974@yandex.ru


Ссылки