Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №7. Транспортная задача. Метод Фогеля.


Транспортная задача.
Пример №1. Транспортная задача. Метод минимального элемента.
Пример №2. Транспортная задача. Метод минимального элемента. (с введением фиктивного потребителя)
Пример №3. Транспортная задача. Метод минимального элемента. (с введением фиктивного поставщика)
Пример №4. Транспортная задача. Метод северо-западного угла.
Пример №5. Транспортная задача. Метод северо-западного угла. (с введением фиктивного потребителя)
Пример №6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла. (с введением фиктивного поставщика)
Пример №7. Транспортная задача. Метод Фогеля.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Задача :
У поставщиков A1 , A2 , A3 , A4 , находится соответственно 200 , 400 , 250 , 150 единиц однотипной продукции, которая должна быть доставлена потребителям B1 , B2 , B3 , B4 в количествах 500 , 100 , 200 , 200 единиц соответственно.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A1 к указанным потребителям равна 9 , 23 , 21 , 19 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A2 к указанным потребителям равна 28 , 16 , 5 , 7 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A3 к указанным потребителям равна 7 , 15 , 4 , 5 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 к указанным потребителям равна 6 , 4 , 21 , 3 ден.ед.
Требуется найти оптимальное решение доставки продукции от поставщиков к потребителям, минимизирующие стоимость доставки.
Решение :
Что мы будем делать?
Найдем начальное решение методом Фогеля. Если начальное решение окажется оптимальным, то задача решена. Если начальное решение окажется не оптимальным, используя метод потенциалов, будем последовательно получать решение за решением, причем каждое следующее, как минимум, не хуже предыдущего. И так, до тех пор, пока не получим оптимальное решение.
Для разрешимости транспортной задачи необходимо, чтобы суммарные запасы продукции у поставщиков равнялись суммарной потребности потребителей. Проверим это условие.
В нашем случае, потребность всех потребителей - 1000 единиц продукции равна запасам всех поставщиков .
1)
Согласно условию задачи составим таблицу. (тарифы cij располагаются в нижнем правом углу ячейки)
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
-
   5  
-
   7  
400
A 3
-
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
-
   4  
-
   21  
-
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

2)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
10
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
2
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
1
A 4
-
  6  
-
  4  
-
  21  
-
  3  
1

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
-
  4  
-
  21  
-
  3  
j 1 11 1 2

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает столбец 2. В данном столбце выберем ячейку A4B2, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 к потребителю B2, как минимум, на 11 ден.ед. меньше чем от остальных поставщиков к потребителю B2 (см. правую таблицу).
Запасы поставщика A4 составляют 150 единиц продукции. Потребность потребителя B2 составляет 100 единиц продукции. (см. таблицу пункта 1)
От поставщика A4 к потребителю B2 будем доставлять min = { 150 , 100 } = 100 единиц продукции.
Разместим в ячейку A4B2 значение равное 100
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B2. Вычеркиваем столбец 2 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
-
   5  
-
   7  
400
A 3
-
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
-
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

3)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
10
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
2
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
1
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
-
  3  
3

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
-
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
-
  3  
j 1 - 1 2

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает строка 1. В данной строке выберем ячейку A1B1, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A1 к потребителю B1, как минимум, на 10 ден.ед. меньше чем к другим потребителям (см. левую таблицу).
Запасы поставщика A1 составляют 200 единиц продукции. Потребность потребителя B1 составляет 500 единиц продукции. (см. таблицу пункта 2)
От поставщика A1 к потребителю B1 будем доставлять min = { 200 , 500 } = 200 единиц продукции.
Разместим в ячейку A1B1 значение равное 200
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A1. Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
-
   5  
-
   7  
400
A 3
-
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
-
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

4)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
-
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
2
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
1
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
-
  3  
3

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
-
  3  
j 1 - 1 2

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает строка 4. В данной строке выберем ячейку A4B4, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 к потребителю B4, как минимум, на 3 ден.ед. меньше чем к другим потребителям (см. левую таблицу).
Запасы поставщика A4 составляют 50 единиц продукции. Потребность потребителя B4 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 3)
От поставщика A4 к потребителю B4 будем доставлять min = { 50 , 200 } = 50 единиц продукции.
Разместим в ячейку A4B4 значение равное 50
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A4. Вычеркиваем строку 4 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
-
   5  
-
   7  
400
A 3
-
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
50
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

5)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
-
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
2
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
1
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
-

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
A 3
-
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
j 21 - 1 2

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает столбец 1. В данном столбце выберем ячейку A3B1, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A3 к потребителю B1, как минимум, на 21 ден.ед. меньше чем от остальных поставщиков к потребителю B1 (см. правую таблицу).
Запасы поставщика A3 составляют 250 единиц продукции. Потребность потребителя B1 составляет 300 единиц продукции. (см. таблицу пункта 4)
От поставщика A3 к потребителю B1 будем доставлять min = { 250 , 300 } = 250 единиц продукции.
Разместим в ячейку A3B1 значение равное 250
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A3. Вычеркиваем строку 3 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
-
   5  
-
   7  
400
A 3
250
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
50
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

6)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
-
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
2
A 3
250
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
-
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
-

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
-
  5  
-
  7  
A 3
250
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
j - - - -

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает строка 2. В данной строке выберем ячейку A2B3, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A2 к потребителю B3, как минимум, на 2 ден.ед. меньше чем к другим потребителям (см. левую таблицу).
Запасы поставщика A2 составляют 400 единиц продукции. Потребность потребителя B3 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 5)
От поставщика A2 к потребителю B3 будем доставлять min = { 400 , 200 } = 200 единиц продукции.
Разместим в ячейку A2B3 значение равное 200
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B3. Вычеркиваем столбец 3 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
200
   5  
-
   7  
400
A 3
250
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
50
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

7)
В каждой строке, найдем разность i между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами. В каждом столбце, найдем разность j между двумя ячейками (доступными для выбора) с наименьшими тарифами.
Поставщик Потребитель i
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
-
A 2
-
  28  
-
  16  
200
  5  
-
  7  
21
A 3
250
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
-
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
-

Поставщик Потребитель
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
  9  
-
  23  
-
  21  
-
  19  
A 2
-
  28  
-
  16  
200
  5  
-
  7  
A 3
250
  7  
-
  15  
-
  4  
-
  5  
A 4
-
  6  
100
  4  
-
  21  
50
  3  
j - - - -

Из полученных разностей выберем наибольшую.
Наибольшей разностью обладает строка 2. В данной строке выберем ячейку A2B4, как обладающую наименьшим тарифом.
Почему?
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A2 к потребителю B4, как минимум, на 21 ден.ед. меньше чем к другим потребителям (см. левую таблицу).
Запасы поставщика A2 составляют 200 единиц продукции. Потребность потребителя B4 составляет 150 единиц продукции. (см. таблицу пункта 6)
От поставщика A2 к потребителю B4 будем доставлять min = { 200 , 150 } = 150 единиц продукции.
Разместим в ячейку A2B4 значение равное 150
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B4. Вычеркиваем столбец 4 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
-
   28  
-
   16  
200
   5  
150
   7  
400
A 3
250
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
50
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

8)
Запасы поставщика A2 составляют 50 единиц продукции. Потребность потребителя B1 составляет 50 единиц продукции. (см. таблицу пункта 7)
От поставщика A2 к потребителю B1 будем доставлять 50 единиц продукции.
Разместим в ячейку A2B1 значение равное 50
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A2. Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
200
   9  
-
   23  
-
   21  
-
   19  
200
A 2
50
   28  
-
   16  
200
   5  
150
   7  
400
A 3
250
   7  
-
   15  
-
   4  
-
   5  
250
A 4
-
   6  
100
   4  
-
   21  
50
   3  
150
Потребность 500 100 200 200

Заполненные нами ячейки будем называть базисными, остальные - свободными.
Для решения задачи методом потенциалов, количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) должно равняться m + n - 1, где m - количество строк в таблице, n - количество столбцов в таблице.
Количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) равно 7, что и требовалось.
Мы нашли начальное решение, т.е израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все потребности потребителей.
S0 = 9 * 200 + 28 * 50 + 5 * 200 + 7 * 150 + 7 * 250 + 4 * 100 + 3 * 50 = 7550 ден. ед.
Общие затраты на доставку всей продукции, для начального решения , составляют 7550 ден. ед. .
Дальнейшие наши действия будут состоять из шагов, каждый из которых состоит в следующем:
  • Находим потенциалы поставщиков и потребителей для имеющегося решения.
  • Находим оценки свободных ячеек. Если все оценки окажутся неотрицательными - задача решена.
  • Выбираем свободную ячейку (с отрицательной оценкой), выбор которой, позволяет максимально снизить общую стоимость доставки всей продукции на данном шаге решения.
  • Находим новое решение, как минимум, не хуже предыдущего.
  • Вычисляем общую стоимость доставки всей продукции для нового решения.

    • Шаг 1

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 7, а общее количество потенциалов равно 8, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v1 = 0.
    v1 + u1 = c11 v1 + u1 = 9u1 = 9 - 0 = 9
    v1 + u2 = c21 v1 + u2 = 28u2 = 28 - 0 = 28
    v3 + u2 = c23 v3 + u2 = 5v3 = 5 - 28 = -23
    v4 + u2 = c24 v4 + u2 = 7v4 = 7 - 28 = -21
    v1 + u3 = c31 v1 + u3 = 7u3 = 7 - 0 = 7
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 3u4 = 3 - ( -21 ) = 24
    v2 + u4 = c42 v2 + u4 = 4v2 = 4 - 24 = -20
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		u 1 = 9
    A 2
    50
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    150
       7  
    		u 2 = 28
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		u 3 = 7
    A 4
    -
       6  
    100
       4  
    -
       21  
    50
       3  
    		u 4 = 24
    V i v 1 = 0 v 2 = -20 v 3 = -23 v 4 = -21

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 23 - ( 9 + ( -20 ) ) = 34
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 21 - ( 9 + ( -23 ) ) = 35
    14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 19 - ( 9 + ( -21 ) ) = 31
    22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 16 - ( 28 + ( -20 ) ) = 8
    32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 15 - ( 7 + ( -20 ) ) = 28
    33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 4 - ( 7 + ( -23 ) ) = 20
    34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( 7 + ( -21 ) ) = 19
    41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 6 - ( 24 + 0 ) = -18
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 21 - ( 24 + ( -23 ) ) = 20
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
      34 23  
    -
      35 21  
    -
      31 19  
    		u 1 = 9
    A 2
    50
       28  
    -
      8 16  
    200
       5  
    150
       7  
    		u 2 = 28
    A 3
    250
       7  
    -
      28 15  
    -
      20 4  
    -
      19 5  
    		u 3 = 7
    A 4
    -
      -18 6  
    100
       4  
    -
      20 21  
    50
       3  
    		u 4 = 24
    V i v 1 = 0 v 2 = -20 v 3 = -23 v 4 = -21


    Оценка свободной ячейки A4B1 (незадействованного маршрута) отрицательная (41 =-18) , следовательно решение не является оптимальным.
    Построим цикл для выбранной ячейки A4B1:
    Поставьте курсор мыши в выбранную свободную ячейку A4B1. Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией базисные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку A4B1. Базисные ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной нами ячейки. Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
    Ячейки образующие цикл для свободной ячейки A4B1 :
    A4B1 , A4B4 , A2B4 , A2B1
    Пусть ячейка A4B1, для которой мы строили цикл, имеет порядковый номер один.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		200
    A 2
    50
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    150
       7  
    		400
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		250
    A 4
    -
      -18 6  
    100
       4  
    -
       21  
    50
       3  
    		150
    Потребность 500 100 200 200

    Среди ячеек цикла A4B4 , A2B1 , номера которых четные, найдем ячейку, обладающую найменьшим значением.
    min = { 50, 50 } = 50
    В данном случае, таких ячеек 2. Остановим свой выбор на ячейке A2B1, как обладающую наибольшим тарифом (28 ден.ед) среди 2.
    Другими словами, из маршрутов доставки продукции, номера которых нечетные в данном цикле и по которым доставляется меньше всего (50) единиц продукции, выберем маршрут от поставщика A2 к потребителю B1, как самый нерентабельный . Данный маршрут мы исключим из схемы доставки продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		200
    A 2
    50
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    150
       7  
    		400
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		250
    A 4
    -
      -18 6  
    100
       4  
    -
       21  
    50
       3  
    		150
    Потребность 500 100 200 200

    От ячеек цикла с четными номерами отнимает 50. К ячейкам с нечетными номерами прибавляем 50.
    Что мы делаем?
    Мы вводим новый маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B1. По данному маршруту доставим 50 единиц продукции, по цене доставки 6 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 6 * 50 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A4 к потребителю B4 на 50 единиц продукции, по цене доставки 3 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 3 * 50 ден. ед.
    От поставщика A2 к потребителю B4 дополнительно поставим 50 единиц продукции, по цене доставки 7 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 7 * 50 ден. ед.
    По маршруту от поставщика A2 к потребителю B1 мы полностью перестаем доставлять продукцию.
    Общие затраты уменьшатся на 28 * 50 ден. ед.
    Данные преобразования не изменят баланс между поставщиками и потребителями. Все поставщики израсходуют все свои запасы, а все потребители получат необходимое им количество продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		200
    A 2
    50 - 50
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    150 + 50
       7  
    		400
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		250
    A 4
    + 50
      -18 6  
    100
       4  
    -
       21  
    50 - 50
       3  
    		150
    Потребность 500 100 200 200

    Что в итоге?
    Общие расходы на доставку продукции от поставщиков к потребителям изменятся на
    6 * 50 - 3 * 50 + 7 * 50 - 28 * 50 = ( 6 - 3 + 7 - 28 ) * 50 = -18 * 50   ден. ед.
    Выражение, стоящее в скобках, равно оценке свободной ячейки (незадействованного маршрута), для которой мы строили цикл.
    ГЛАВНОЕ :
    В тот момент, когда мы нашли ячейку с наименьшим значением (среди ячеек, номера которых четные в цикле), мы уже могли сказать, что общие затраты изменятся на 41 * 50 = -18 * 50 = -900 ден. ед.
    Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют S0 = 7550 + ( - 900 ) = 6650 ден. ед. .
    Если оценки всех свободных ячеек (незадействованных маршрутов) неотрицательные, то снизить общую стоимость доставки всей продукции невозможно.
    Ячейка A2B1 выйдет из базиса, мы перестали доставлять продукцию от поставщика A2 к потребителю B1
    Ячейка A4B1 станет базисной, мы ввели новый маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B1 .
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		200
    A 2
    -
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    200
       7  
    		400
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		250
    A 4
    50
       6  
    100
       4  
    -
       21  
    0
       3  
    		150
    Потребность 500 100 200 200

    Шаг 2

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 7, а общее количество потенциалов равно 8, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v1 = 0.
    v1 + u1 = c11 v1 + u1 = 9u1 = 9 - 0 = 9
    v1 + u3 = c31 v1 + u3 = 7u3 = 7 - 0 = 7
    v1 + u4 = c41 v1 + u4 = 6u4 = 6 - 0 = 6
    v2 + u4 = c42 v2 + u4 = 4v2 = 4 - 6 = -2
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 3v4 = 3 - 6 = -3
    v4 + u2 = c24 v4 + u2 = 7u2 = 7 - ( -3 ) = 10
    v3 + u2 = c23 v3 + u2 = 5v3 = 5 - 10 = -5
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
       23  
    -
       21  
    -
       19  
    		u 1 = 9
    A 2
    -
       28  
    -
       16  
    200
       5  
    200
       7  
    		u 2 = 10
    A 3
    250
       7  
    -
       15  
    -
       4  
    -
       5  
    		u 3 = 7
    A 4
    50
       6  
    100
       4  
    -
       21  
    0
       3  
    		u 4 = 6
    V i v 1 = 0 v 2 = -2 v 3 = -5 v 4 = -3

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 23 - ( 9 + ( -2 ) ) = 16
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 21 - ( 9 + ( -5 ) ) = 17
    14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 19 - ( 9 + ( -3 ) ) = 13
    21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 28 - ( 10 + 0 ) = 18
    22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 16 - ( 10 + ( -2 ) ) = 8
    32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 15 - ( 7 + ( -2 ) ) = 10
    33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 4 - ( 7 + ( -5 ) ) = 2
    34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( 7 + ( -3 ) ) = 1
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 21 - ( 6 + ( -5 ) ) = 20
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4
    A 1
    200
       9  
    -
      16 23  
    -
      17 21  
    -
      13 19  
    		u 1 = 9
    A 2
    -
      18 28  
    -
      8 16  
    200
       5  
    200
       7  
    		u 2 = 10
    A 3
    250
       7  
    -
      10 15  
    -
      2 4  
    -
      1 5  
    		u 3 = 7
    A 4
    50
       6  
    100
       4  
    -
      20 21  
    0
       3  
    		u 4 = 6
    V i v 1 = 0 v 2 = -2 v 3 = -5 v 4 = -3


    Все оценки свободных ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.
    Ответ:
    X опт = 200 0 0 0
    0 0 200 200
    250 0 0 0
    50 100 0 0
    Smin = 9 * 200 + 5 * 200 + 7 * 200 + 7 * 250 + 6 * 50 + 4 * 100 = 6650
    Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 6650 ден. ед.

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100