WWW.RESHMAT.RU

Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ КНИГИ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №1. Транспортная задача. Метод минимального элемента.

Транспортная задача.
Пример №1. Транспортная задача. Метод минимального элемента.
Пример №2. Транспортная задача. Метод минимального элемента. (с введением фиктивного потребителя)
Пример №3. Транспортная задача. Метод минимального элемента. (с введением фиктивного поставщика)
Пример №4. Транспортная задача. Метод северо-западного угла.
Пример №5. Транспортная задача. Метод северо-западного угла. (с введением фиктивного потребителя)
Пример №6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла. (с введением фиктивного поставщика)
Пример №7. Транспортная задача. Метод Фогеля.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Задача :
У поставщиков A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , находится соответственно 100 , 150 , 350 , 200 , 200 единиц однотипной продукции, которая должна быть доставлена потребителям B1 , B2 , B3 , B4 , B5 в количествах 100 , 200 , 200 , 300 , 200 единиц соответственно.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A1 к указанным потребителям равна 4 , 3 , 5 , 2 , 3 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A2 к указанным потребителям равна 7 , 1 , 2 , 3 , 1 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A3 к указанным потребителям равна 9 , 2 , 4 , 5 , 6 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 к указанным потребителям равна 1 , 3 , 6 , 4 , 10 ден.ед.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A5 к указанным потребителям равна 5 , 8 , 15 , 6 , 15 ден.ед.
Требуется найти оптимальное решение доставки продукции от поставщиков к потребителям, минимизирующие стоимость доставки.
Решение :
Что мы будем делать?
Найдем начальное решение методом минимального элемента. Если начальное решение окажется оптимальным, то задача решена. Если начальное решение окажется не оптимальным, используя метод потенциалов, будем последовательно получать решение за решением, причем каждое следующее, как минимум, не хуже предыдущего. И так, до тех пор, пока не получим оптимальное решение.
Для разрешимости транспортной задачи необходимо, чтобы суммарные запасы продукции у поставщиков равнялись суммарной потребности потребителей. Проверим это условие.
В нашем случае, потребность всех потребителей - 1000 единиц продукции равна запасам всех поставщиков .
1)
Согласно условию задачи составим таблицу. (тарифы cij располагаются в нижнем правом углу ячейки)
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
-
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
-
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
-
   2  
-
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
-
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

2)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A2B2 и равен 1, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A2 к потребителю B2 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A2 составляют 150 единиц продукции. Потребность потребителя B2 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 1)
От поставщика A2 к потребителю B2 будем доставлять min = { 150 , 200 } = 150 единиц продукции.
Разместим в ячейку A2B2 значение равное 150
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A2. Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
-
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
-
   2  
-
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
-
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

3)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A4B1 и равен 1, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B1 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A4 составляют 200 единиц продукции. Потребность потребителя B1 составляет 100 единиц продукции. (см. таблицу пункта 2)
От поставщика A4 к потребителю B1 будем доставлять min = { 200 , 100 } = 100 единиц продукции.
Разместим в ячейку A4B1 значение равное 100
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B1. Вычеркиваем столбец 1 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
-
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
-
   2  
-
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

4)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A1B4 и равен 2, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A1 к потребителю B4 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A1 составляют 100 единиц продукции. Потребность потребителя B4 составляет 300 единиц продукции. (см. таблицу пункта 3)
От поставщика A1 к потребителю B4 будем доставлять min = { 100 , 300 } = 100 единиц продукции.
Разместим в ячейку A1B4 значение равное 100
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A1. Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
-
   2  
-
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

5)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A3B2 и равен 2, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A3 к потребителю B2 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A3 составляют 350 единиц продукции. Потребность потребителя B2 составляет 50 единиц продукции. (см. таблицу пункта 4)
От поставщика A3 к потребителю B2 будем доставлять min = { 350 , 50 } = 50 единиц продукции.
Разместим в ячейку A3B2 значение равное 50
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B2. Вычеркиваем столбец 2 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
-
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

6)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A3B3 и равен 4, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A3 к потребителю B3 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A3 составляют 300 единиц продукции. Потребность потребителя B3 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 5)
От поставщика A3 к потребителю B3 будем доставлять min = { 300 , 200 } = 200 единиц продукции.
Разместим в ячейку A3B3 значение равное 200
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B3. Вычеркиваем столбец 3 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
200
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
-
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

7)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A4B4 и равен 4, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B4 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A4 составляют 100 единиц продукции. Потребность потребителя B4 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 6)
От поставщика A4 к потребителю B4 будем доставлять min = { 100 , 200 } = 100 единиц продукции.
Разместим в ячейку A4B4 значение равное 100
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A4. Вычеркиваем строку 4 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
200
   4  
-
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
100
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

8)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A3B4 и равен 5, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A3 к потребителю B4 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A3 составляют 100 единиц продукции. Потребность потребителя B4 составляет 100 единиц продукции. (см. таблицу пункта 7)
От поставщика A3 к потребителю B4 будем доставлять 100 единиц продукции.
Разместим в ячейку A3B4 значение равное 100
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A3. Вычеркиваем строку 3 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Мы полностью удовлетворили потребность потребителя B4. Вычеркиваем столбец 4 таблицы, т.е исключаем его из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
200
   4  
100
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
100
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
-
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

9)
Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке A5B5 и равен 15, т.е. из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика A5 к потребителю B5 наиболее рентабельный.
Запасы поставщика A5 составляют 200 единиц продукции. Потребность потребителя B5 составляет 200 единиц продукции. (см. таблицу пункта 8)
От поставщика A5 к потребителю B5 будем доставлять 200 единиц продукции.
Разместим в ячейку A5B5 значение равное 200
Мы полностью израсходoвали запасы поставщика A5. Вычеркиваем строку 5 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
-
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
200
   4  
100
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
100
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
200
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

Заполненные нами ячейки будем называть базисными, остальные - свободными.
Для решения задачи методом потенциалов, количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) должно равняться m + n - 1, где m - количество строк в таблице, n - количество столбцов в таблице.
Количество базисных ячеек равно 8. Требуется, чтобы было 9.
10)
В свободную ячейку A2B5 запишем ноль, как в ячейку не образующую цикл (понятие цикл см. ниже) с базисными ячейками и имеющую наименьший тариф.
Будем считать, что от поставщика A2 к потребителю B5 доставляем 0 единиц продукции.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
-
   4  
-
   3  
-
   5  
100
   2  
-
   3  
100
A 2
-
   7  
150
   1  
-
   2  
-
   3  
0
   1  
150
A 3
-
   9  
50
   2  
200
   4  
100
   5  
-
   6  
350
A 4
100
   1  
-
   3  
-
   6  
100
   4  
-
   10  
200
A 5
-
   5  
-
   8  
-
   15  
-
   6  
200
   15  
200
Потребность 100 200 200 300 200

Количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) равно 9, что и требовалось.
Мы нашли начальное решение, т.е израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все потребности потребителей.
S0 = 2 * 100 + 1 * 150 + 2 * 50 + 4 * 200 + 5 * 100 + 1 * 100 + 4 * 100 + 15 * 200 = 5250 ден. ед.
Общие затраты на доставку всей продукции, для начального решения , составляют 5250 ден. ед. .
Дальнейшие наши действия будут состоять из шагов, каждый из которых состоит в следующем:
  • Находим потенциалы поставщиков и потребителей для имеющегося решения.
  • Находим оценки свободных ячеек. Если все оценки окажутся неотрицательными - задача решена.
  • Выбираем свободную ячейку (с отрицательной оценкой), выбор которой, позволяет максимально снизить общую стоимость доставки всей продукции на данном шаге решения.
  • Находим новое решение, как минимум, не хуже предыдущего.
  • Вычисляем общую стоимость доставки всей продукции для нового решения.

    • Шаг 1

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 9, а общее количество потенциалов равно 10, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v4 = 0.
    v4 + u1 = c14 v4 + u1 = 2u1 = 2 - 0 = 2
    v4 + u3 = c34 v4 + u3 = 5u3 = 5 - 0 = 5
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 4u4 = 4 - 0 = 4
    v2 + u3 = c32 v2 + u3 = 2v2 = 2 - 5 = -3
    v3 + u3 = c33 v3 + u3 = 4v3 = 4 - 5 = -1
    v1 + u4 = c41 v1 + u4 = 1v1 = 1 - 4 = -3
    v2 + u2 = c22 v2 + u2 = 1u2 = 1 - ( -3 ) = 4
    v5 + u2 = c25 v5 + u2 = 1v5 = 1 - 4 = -3
    v5 + u5 = c55 v5 + u5 = 15u5 = 15 - ( -3 ) = 18
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
       7  
    150
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    0
       1  
    		u 2 = 4
    A 3
    -
       9  
    50
       2  
    200
       4  
    100
       5  
    -
       6  
    		u 3 = 5
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    -
       6  
    200
       15  
    		u 5 = 18
    V i v 1 = -3 v 2 = -3 v 3 = -1 v 4 = 0 v 5 = -3

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 4 - ( 2 + ( -3 ) ) = 5
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 2 + ( -3 ) ) = 4
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 2 + ( -1 ) ) = 4
    15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 3 - ( 2 + ( -3 ) ) = 4
    21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( 4 + ( -3 ) ) = 6
    23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 2 - ( 4 + ( -1 ) ) = -1
    24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 3 - ( 4 + 0 ) = -1
    31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 5 + ( -3 ) ) = 7
    35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 6 - ( 5 + ( -3 ) ) = 4
    42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 3 - ( 4 + ( -3 ) ) = 2
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 6 - ( 4 + ( -1 ) ) = 3
    45 = c45 - ( u4 + v5 ) = 10 - ( 4 + ( -3 ) ) = 9
    51 = c51 - ( u5 + v1 ) = 5 - ( 18 + ( -3 ) ) = -10
    52 = c52 - ( u5 + v2 ) = 8 - ( 18 + ( -3 ) ) = -7
    53 = c53 - ( u5 + v3 ) = 15 - ( 18 + ( -1 ) ) = -2
    54 = c54 - ( u5 + v4 ) = 6 - ( 18 + 0 ) = -12
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
      5 4  
    -
      4 3  
    -
      4 5  
    100
       2  
    -
      4 3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
      6 7  
    150
       1  
    -
      -1 2  
    -
      -1 3  
    0
       1  
    		u 2 = 4
    A 3
    -
      7 9  
    50
       2  
    200
       4  
    100
       5  
    -
      4 6  
    		u 3 = 5
    A 4
    100
       1  
    -
      2 3  
    -
      3 6  
    100
       4  
    -
      9 10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
      -10 5  
    -
      -7 8  
    -
      -2 15  
    -
      -12 6  
    200
       15  
    		u 5 = 18
    V i v 1 = -3 v 2 = -3 v 3 = -1 v 4 = 0 v 5 = -3


    Среди оценок свободных ячеек есть отрицательные, следовательно решение не является оптимальным.
    Из свободных ячеек (незадействованных маршрутов), имеющих отрицательные оценки, остановим свой выбор на ячейке A5B4 (54 =-12).
    Построим цикл для выбранной ячейки A5B4:
    Поставьте курсор мыши в выбранную свободную ячейку A5B4. Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией базисные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку A5B4. Базисные ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной нами ячейки. Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
    Ячейки образующие цикл для свободной ячейки A5B4 :
    A5B4 , A5B5 , A2B5 , A2B2 , A3B2 , A3B4
    Пусть ячейка A5B4, для которой мы строили цикл, имеет порядковый номер один.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    150
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    0
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    50
       2  
    200
       4  
    100
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    -
      -12 6  
    200
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Среди ячеек цикла A5B5 , A2B2 , A3B4 , номера которых четные, найдем ячейку, обладающую найменьшим значением.
    min = { 200, 150, 100 } = 100
    В данном случае, это ячейка A3B4.
    Другими словами, из маршрутов доставки продукции, номера которых нечетные в данном цикле, выберем маршрут от поставщика A3 к потребителю B4, по которому доставляется меньше всего (100) единиц продукции . Данный маршрут мы исключим из схемы доставки продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    150
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    0
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    50
       2  
    200
       4  
    100
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    -
      -12 6  
    200
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    От ячеек цикла с четными номерами отнимает 100. К ячейкам с нечетными номерами прибавляем 100.
    Что мы делаем?
    Мы вводим новый маршрут доставки продукции от поставщика A5 к потребителю B4. По данному маршруту доставим 100 единиц продукции, по цене доставки 6 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 6 * 100 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A5 к потребителю B5 на 100 единиц продукции, по цене доставки 15 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 15 * 100 ден. ед.
    От поставщика A2 к потребителю B5 дополнительно поставим 100 единиц продукции, по цене доставки 1 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 1 * 100 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A2 к потребителю B2 на 100 единиц продукции, по цене доставки 1 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 1 * 100 ден. ед.
    От поставщика A3 к потребителю B2 дополнительно поставим 100 единиц продукции, по цене доставки 2 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 2 * 100 ден. ед.
    По маршруту от поставщика A3 к потребителю B4 мы полностью перестаем доставлять продукцию.
    Общие затраты уменьшатся на 5 * 100 ден. ед.
    Данные преобразования не изменят баланс между поставщиками и потребителями. Все поставщики израсходуют все свои запасы, а все потребители получат необходимое им количество продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    150 - 100
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    0 + 100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    50 + 100
       2  
    200
       4  
    100 - 100
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    + 100
      -12 6  
    200 - 100
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Что в итоге?
    Общие расходы на доставку продукции от поставщиков к потребителям изменятся на
    6 * 100 - 15 * 100 + 1 * 100 - 1 * 100 + 2 * 100 - 5 * 100 = ( 6 - 15 + 1 - 1 + 2 - 5 ) * 100 = -12 * 100   ден. ед.
    Выражение, стоящее в скобках, равно оценке свободной ячейки (незадействованного маршрута), для которой мы строили цикл.
    ГЛАВНОЕ :
    В тот момент, когда мы нашли ячейку с наименьшим значением (среди ячеек, номера которых четные в цикле), мы уже могли сказать, что общие затраты изменятся на 54 * 100 = -12 * 100 = -1200 ден. ед.
    Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют S0 = 5250 + ( - 1200 ) = 4050 ден. ед. .
    Если оценки всех свободных ячеек (незадействованных маршрутов) неотрицательные, то снизить общую стоимость доставки всей продукции невозможно.
    Воспользовавшись таблицей, в которой мы находили оценки свободных ячеек, вы можете убедиться, что в случае выбора:
                ячейки A2B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 23 * 150 = -1 * 150 = -150 ден. ед.
                ячейки A2B4, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 24 * 100 = -1 * 100 = -100 ден. ед.
                ячейки A5B1, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 51 * 100 = -10 * 100 = -1000 ден. ед.
                ячейки A5B2, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 52 * 150 = -7 * 150 = -1050 ден. ед.
                ячейки A5B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 53 * 150 = -2 * 150 = -300 ден. ед.
    Ячейка A3B4 выйдет из базиса, мы перестали доставлять продукцию от поставщика A3 к потребителю B4
    Ячейка A5B4 станет базисной, мы ввели новый маршрут доставки продукции от поставщика A5 к потребителю B4 .
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    100
       6  
    100
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Шаг 2

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 9, а общее количество потенциалов равно 10, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v4 = 0.
    v4 + u1 = c14 v4 + u1 = 2u1 = 2 - 0 = 2
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 4u4 = 4 - 0 = 4
    v4 + u5 = c54 v4 + u5 = 6u5 = 6 - 0 = 6
    v5 + u5 = c55 v5 + u5 = 15v5 = 15 - 6 = 9
    v5 + u2 = c25 v5 + u2 = 1u2 = 1 - 9 = -8
    v1 + u4 = c41 v1 + u4 = 1v1 = 1 - 4 = -3
    v2 + u2 = c22 v2 + u2 = 1v2 = 1 - ( -8 ) = 9
    v2 + u3 = c32 v2 + u3 = 2u3 = 2 - 9 = -7
    v3 + u3 = c33 v3 + u3 = 4v3 = 4 - ( -7 ) = 11
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		u 2 = -8
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		u 3 = -7
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    100
       6  
    100
       15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = 9 v 3 = 11 v 4 = 0 v 5 = 9

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 4 - ( 2 + ( -3 ) ) = 5
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 2 + 9 ) = -8
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 2 + 11 ) = -8
    15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 3 - ( 2 + 9 ) = -8
    21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( -8 + ( -3 ) ) = 18
    23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 2 - ( -8 + 11 ) = -1
    24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 3 - ( -8 + 0 ) = 11
    31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( -7 + ( -3 ) ) = 19
    34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( -7 + 0 ) = 12
    35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 6 - ( -7 + 9 ) = 4
    42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 3 - ( 4 + 9 ) = -10
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 6 - ( 4 + 11 ) = -9
    45 = c45 - ( u4 + v5 ) = 10 - ( 4 + 9 ) = -3
    51 = c51 - ( u5 + v1 ) = 5 - ( 6 + ( -3 ) ) = 2
    52 = c52 - ( u5 + v2 ) = 8 - ( 6 + 9 ) = -7
    53 = c53 - ( u5 + v3 ) = 15 - ( 6 + 11 ) = -2
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
      5 4  
    -
      -8 3  
    -
      -8 5  
    100
       2  
    -
      -8 3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
      18 7  
    50
       1  
    -
      -1 2  
    -
      11 3  
    100
       1  
    		u 2 = -8
    A 3
    -
      19 9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
      12 5  
    -
      4 6  
    		u 3 = -7
    A 4
    100
       1  
    -
      -10 3  
    -
      -9 6  
    100
       4  
    -
      -3 10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
      2 5  
    -
      -7 8  
    -
      -2 15  
    100
       6  
    100
       15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = 9 v 3 = 11 v 4 = 0 v 5 = 9


    Среди оценок свободных ячеек есть отрицательные, следовательно решение не является оптимальным.
    Из свободных ячеек (незадействованных маршрутов), имеющих отрицательные оценки, остановим свой выбор на ячейке A1B5 (15 =-8).
    Построим цикл для выбранной ячейки A1B5:
    Поставьте курсор мыши в выбранную свободную ячейку A1B5. Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией базисные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку A1B5. Базисные ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной нами ячейки. Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
    Ячейки образующие цикл для свободной ячейки A1B5 :
    A1B5 , A1B4 , A5B4 , A5B5
    Пусть ячейка A1B5, для которой мы строили цикл, имеет порядковый номер один.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
      -8 3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    100
       6  
    100
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Среди ячеек цикла A1B4 , A5B5 , номера которых четные, найдем ячейку, обладающую найменьшим значением.
    min = { 100, 100 } = 100
    В данном случае, таких ячеек 2. Остановим свой выбор на ячейке A5B5, как обладающую наибольшим тарифом (15 ден.ед) среди 2.
    Другими словами, из маршрутов доставки продукции, номера которых нечетные в данном цикле и по которым доставляется меньше всего (100) единиц продукции, выберем маршрут от поставщика A5 к потребителю B5, как самый нерентабельный . Данный маршрут мы исключим из схемы доставки продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100
       2  
    -
      -8 3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    100
       6  
    100
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    От ячеек цикла с четными номерами отнимает 100. К ячейкам с нечетными номерами прибавляем 100.
    Что мы делаем?
    Мы вводим новый маршрут доставки продукции от поставщика A1 к потребителю B5. По данному маршруту доставим 100 единиц продукции, по цене доставки 3 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 3 * 100 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A1 к потребителю B4 на 100 единиц продукции, по цене доставки 2 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 2 * 100 ден. ед.
    От поставщика A5 к потребителю B4 дополнительно поставим 100 единиц продукции, по цене доставки 6 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 6 * 100 ден. ед.
    По маршруту от поставщика A5 к потребителю B5 мы полностью перестаем доставлять продукцию.
    Общие затраты уменьшатся на 15 * 100 ден. ед.
    Данные преобразования не изменят баланс между поставщиками и потребителями. Все поставщики израсходуют все свои запасы, а все потребители получат необходимое им количество продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    100 - 100
       2  
    + 100
      -8 3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    100 + 100
       6  
    100 - 100
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Что в итоге?
    Общие расходы на доставку продукции от поставщиков к потребителям изменятся на
    3 * 100 - 2 * 100 + 6 * 100 - 15 * 100 = ( 3 - 2 + 6 - 15 ) * 100 = -8 * 100   ден. ед.
    Выражение, стоящее в скобках, равно оценке свободной ячейки (незадействованного маршрута), для которой мы строили цикл.
    ГЛАВНОЕ :
    В тот момент, когда мы нашли ячейку с наименьшим значением (среди ячеек, номера которых четные в цикле), мы уже могли сказать, что общие затраты изменятся на 15 * 100 = -8 * 100 = -800 ден. ед.
    Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют S0 = 4050 + ( - 800 ) = 3250 ден. ед. .
    Если оценки всех свободных ячеек (незадействованных маршрутов) неотрицательные, то снизить общую стоимость доставки всей продукции невозможно.
    Воспользовавшись таблицей, в которой мы находили оценки свободных ячеек, вы можете убедиться, что в случае выбора:
                ячейки A1B2, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 12 * 50 = -8 * 50 = -400 ден. ед.
                ячейки A1B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 13 * 50 = -8 * 50 = -400 ден. ед.
                ячейки A2B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 23 * 50 = -1 * 50 = -50 ден. ед.
                ячейки A4B2, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 42 * 50 = -10 * 50 = -500 ден. ед.
                ячейки A4B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 43 * 50 = -9 * 50 = -450 ден. ед.
                ячейки A4B5, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 45 * 100 = -3 * 100 = -300 ден. ед.
                ячейки A5B2, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 52 * 50 = -7 * 50 = -350 ден. ед.
                ячейки A5B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 53 * 50 = -2 * 50 = -100 ден. ед.
    Ячейка A5B5 выйдет из базиса, мы перестали доставлять продукцию от поставщика A5 к потребителю B5
    Ячейка A1B5 станет базисной, мы ввели новый маршрут доставки продукции от поставщика A1 к потребителю B5 .
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    0
       2  
    100
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Шаг 3

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 9, а общее количество потенциалов равно 10, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v4 = 0.
    v4 + u1 = c14 v4 + u1 = 2u1 = 2 - 0 = 2
    v5 + u1 = c15 v5 + u1 = 3v5 = 3 - 2 = 1
    v5 + u2 = c25 v5 + u2 = 1u2 = 1 - 1 = 0
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 4u4 = 4 - 0 = 4
    v4 + u5 = c54 v4 + u5 = 6u5 = 6 - 0 = 6
    v2 + u2 = c22 v2 + u2 = 1v2 = 1 - 0 = 1
    v2 + u3 = c32 v2 + u3 = 2u3 = 2 - 1 = 1
    v3 + u3 = c33 v3 + u3 = 4v3 = 4 - 1 = 3
    v1 + u4 = c41 v1 + u4 = 1v1 = 1 - 4 = -3
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    0
       2  
    100
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		u 2 = 0
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		u 3 = 1
    A 4
    100
       1  
    -
       3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = 1 v 3 = 3 v 4 = 0 v 5 = 1

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 4 - ( 2 + ( -3 ) ) = 5
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 2 + 1 ) = 0
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 2 + 3 ) = 0
    21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( 0 + ( -3 ) ) = 10
    23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 2 - ( 0 + 3 ) = -1
    24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 3 - ( 0 + 0 ) = 3
    31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 1 + ( -3 ) ) = 11
    34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( 1 + 0 ) = 4
    35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 6 - ( 1 + 1 ) = 4
    42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 3 - ( 4 + 1 ) = -2
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 6 - ( 4 + 3 ) = -1
    45 = c45 - ( u4 + v5 ) = 10 - ( 4 + 1 ) = 5
    51 = c51 - ( u5 + v1 ) = 5 - ( 6 + ( -3 ) ) = 2
    52 = c52 - ( u5 + v2 ) = 8 - ( 6 + 1 ) = 1
    53 = c53 - ( u5 + v3 ) = 15 - ( 6 + 3 ) = 6
    55 = c55 - ( u5 + v5 ) = 15 - ( 6 + 1 ) = 8
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
      5 4  
    -
      0 3  
    -
      0 5  
    0
       2  
    100
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
      10 7  
    50
       1  
    -
      -1 2  
    -
      3 3  
    100
       1  
    		u 2 = 0
    A 3
    -
      11 9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
      4 5  
    -
      4 6  
    		u 3 = 1
    A 4
    100
       1  
    -
      -2 3  
    -
      -1 6  
    100
       4  
    -
      5 10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
      2 5  
    -
      1 8  
    -
      6 15  
    200
       6  
    -
      8 15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = 1 v 3 = 3 v 4 = 0 v 5 = 1


    Среди оценок свободных ячеек есть отрицательные, следовательно решение не является оптимальным.
    Из свободных ячеек (незадействованных маршрутов), имеющих отрицательные оценки, остановим свой выбор на ячейке A4B2 (42 =-2).
    Построим цикл для выбранной ячейки A4B2:
    Поставьте курсор мыши в выбранную свободную ячейку A4B2. Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией базисные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку A4B2. Базисные ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной нами ячейки. Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
    Ячейки образующие цикл для свободной ячейки A4B2 :
    A4B2 , A4B4 , A1B4 , A1B5 , A2B5 , A2B2
    Пусть ячейка A4B2, для которой мы строили цикл, имеет порядковый номер один.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    0
       2  
    100
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
      -2 3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Среди ячеек цикла A4B4 , A1B5 , A2B2 , номера которых четные, найдем ячейку, обладающую найменьшим значением.
    min = { 100, 100, 50 } = 50
    В данном случае, это ячейка A2B2.
    Другими словами, из маршрутов доставки продукции, номера которых нечетные в данном цикле, выберем маршрут от поставщика A2 к потребителю B2, по которому доставляется меньше всего (50) единиц продукции . Данный маршрут мы исключим из схемы доставки продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    0
       2  
    100
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    -
      -2 3  
    -
       6  
    100
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    От ячеек цикла с четными номерами отнимает 50. К ячейкам с нечетными номерами прибавляем 50.
    Что мы делаем?
    Мы вводим новый маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B2. По данному маршруту доставим 50 единиц продукции, по цене доставки 3 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 3 * 50 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A4 к потребителю B4 на 50 единиц продукции, по цене доставки 4 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 4 * 50 ден. ед.
    От поставщика A1 к потребителю B4 дополнительно поставим 50 единиц продукции, по цене доставки 2 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 2 * 50 ден. ед.
    Сократим поставку от поставщика A1 к потребителю B5 на 50 единиц продукции, по цене доставки 3 за единицу продукции. Общие затраты уменьшатся на 3 * 50 ден. ед.
    От поставщика A2 к потребителю B5 дополнительно поставим 50 единиц продукции, по цене доставки 1 за единицу продукции. Общие затраты увеличатся на 1 * 50 ден. ед.
    По маршруту от поставщика A2 к потребителю B2 мы полностью перестаем доставлять продукцию.
    Общие затраты уменьшатся на 1 * 50 ден. ед.
    Данные преобразования не изменят баланс между поставщиками и потребителями. Все поставщики израсходуют все свои запасы, а все потребители получат необходимое им количество продукции.
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    0 + 50
       2  
    100 - 50
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    50 - 50
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    100 + 50
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    + 50
      -2 3  
    -
       6  
    100 - 50
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Что в итоге?
    Общие расходы на доставку продукции от поставщиков к потребителям изменятся на
    3 * 50 - 4 * 50 + 2 * 50 - 3 * 50 + 1 * 50 - 1 * 50 = ( 3 - 4 + 2 - 3 + 1 - 1 ) * 50 = -2 * 50   ден. ед.
    Выражение, стоящее в скобках, равно оценке свободной ячейки (незадействованного маршрута), для которой мы строили цикл.
    ГЛАВНОЕ :
    В тот момент, когда мы нашли ячейку с наименьшим значением (среди ячеек, номера которых четные в цикле), мы уже могли сказать, что общие затраты изменятся на 42 * 50 = -2 * 50 = -100 ден. ед.
    Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют S0 = 3250 + ( - 100 ) = 3150 ден. ед. .
    Если оценки всех свободных ячеек (незадействованных маршрутов) неотрицательные, то снизить общую стоимость доставки всей продукции невозможно.
    Воспользовавшись таблицей, в которой мы находили оценки свободных ячеек, вы можете убедиться, что в случае выбора:
                ячейки A2B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 23 * 50 = -1 * 50 = -50 ден. ед.
                ячейки A4B3, общая стоимость доставки всей продукции изменилась бы на 43 * 50 = -1 * 50 = -50 ден. ед.
    Ячейка A2B2 выйдет из базиса, мы перестали доставлять продукцию от поставщика A2 к потребителю B2
    Ячейка A4B2 станет базисной, мы ввели новый маршрут доставки продукции от поставщика A4 к потребителю B2 .
    Поставщик Потребитель Запас
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    50
       2  
    50
       3  
    		100
    A 2
    -
       7  
    -
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    150
       1  
    		150
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		350
    A 4
    100
       1  
    50
       3  
    -
       6  
    50
       4  
    -
       10  
    		200
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		200
    Потребность 100 200 200 300 200

    Шаг 4

    ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.
    Каждому поставщику Ai ставим в соответствие некоторое число - ui, называемое потенциалом поставщика.
    Каждому потребителю Bj ставим в соответствие некоторое число - vj, называемое потенциалом потребителя.
    Для базисной ячеки (задействованного маршрута), сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.
    (ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj)
    Поскольку, число базисных клеток - 9, а общее количество потенциалов равно 10, то для однозначного определения потенциалов, значение одного из них можно выбрать произвольно.
    Примем v4 = 0.
    v4 + u1 = c14 v4 + u1 = 2u1 = 2 - 0 = 2
    v5 + u1 = c15 v5 + u1 = 3v5 = 3 - 2 = 1
    v5 + u2 = c25 v5 + u2 = 1u2 = 1 - 1 = 0
    v4 + u4 = c44 v4 + u4 = 4u4 = 4 - 0 = 4
    v4 + u5 = c54 v4 + u5 = 6u5 = 6 - 0 = 6
    v1 + u4 = c41 v1 + u4 = 1v1 = 1 - 4 = -3
    v2 + u4 = c42 v2 + u4 = 3v2 = 3 - 4 = -1
    v2 + u3 = c32 v2 + u3 = 2u3 = 2 - ( -1 ) = 3
    v3 + u3 = c33 v3 + u3 = 4v3 = 4 - 3 = 1
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
       4  
    -
       3  
    -
       5  
    50
       2  
    50
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
       7  
    -
       1  
    -
       2  
    -
       3  
    150
       1  
    		u 2 = 0
    A 3
    -
       9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
       5  
    -
       6  
    		u 3 = 3
    A 4
    100
       1  
    50
       3  
    -
       6  
    50
       4  
    -
       10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
       5  
    -
       8  
    -
       15  
    200
       6  
    -
       15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = -1 v 3 = 1 v 4 = 0 v 5 = 1

    Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):
    11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 4 - ( 2 + ( -3 ) ) = 5
    12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 2 + ( -1 ) ) = 2
    13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 2 + 1 ) = 2
    21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( 0 + ( -3 ) ) = 10
    22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 1 - ( 0 + ( -1 ) ) = 2
    23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 2 - ( 0 + 1 ) = 1
    24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 3 - ( 0 + 0 ) = 3
    31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 3 + ( -3 ) ) = 9
    34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( 3 + 0 ) = 2
    35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 6 - ( 3 + 1 ) = 2
    43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 6 - ( 4 + 1 ) = 1
    45 = c45 - ( u4 + v5 ) = 10 - ( 4 + 1 ) = 5
    51 = c51 - ( u5 + v1 ) = 5 - ( 6 + ( -3 ) ) = 2
    52 = c52 - ( u5 + v2 ) = 8 - ( 6 + ( -1 ) ) = 3
    53 = c53 - ( u5 + v3 ) = 15 - ( 6 + 1 ) = 8
    55 = c55 - ( u5 + v5 ) = 15 - ( 6 + 1 ) = 8
    Поставщик Потребитель U j
    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
    A 1
    -
      5 4  
    -
      2 3  
    -
      2 5  
    50
       2  
    50
       3  
    		u 1 = 2
    A 2
    -
      10 7  
    -
      2 1  
    -
      1 2  
    -
      3 3  
    150
       1  
    		u 2 = 0
    A 3
    -
      9 9  
    150
       2  
    200
       4  
    -
      2 5  
    -
      2 6  
    		u 3 = 3
    A 4
    100
       1  
    50
       3  
    -
      1 6  
    50
       4  
    -
      5 10  
    		u 4 = 4
    A 5
    -
      2 5  
    -
      3 8  
    -
      8 15  
    200
       6  
    -
      8 15  
    		u 5 = 6
    V i v 1 = -3 v 2 = -1 v 3 = 1 v 4 = 0 v 5 = 1


    Все оценки свободных ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.
    Ответ:
    X опт = 0 0 0 50 50
    0 0 0 0 150
    0 150 200 0 0
    100 50 0 50 0
    0 0 0 200 0
    Smin = 2 * 50 + 3 * 50 + 1 * 150 + 2 * 150 + 4 * 200 + 1 * 100 + 3 * 50 + 4 * 50 + 6 * 200 = 3150
    Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 3150 ден. ед.

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2011, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100