 |
|
Решение задач по математике онлайн |
|
| >> Пример нахождения уравнения плоскости проходящей через три точки. |
|
|
|
Уравнение плоскости проходящей через три точки. |
|
Пример нахождения уравнения плоскости проходящей через три точки.
|
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
| Найдем уравнение плоскости проходящей через точки три заданные точки. |
M1 = ( 1 , 2 , -2 )
M2 = ( 3 , 7 , 2 )
M3 = ( -2 , -1 , 1 ) |
| Возьмем произвольную точку М ( x ,y ,z ) принадлежащую плоскости, уравнение которой нам необходимо найти. |
| Найдем координаты следующих векторов. |
| | = ( x - ( - 2 ) , y - ( - 1 ) , z - 1 ) | | M3M |
| | = ( 1 - ( - 2 ) , 2 - ( - 1 ) , -2 - 1 ) = ( 3 , 3 , -3 ) | | M3M1 |
| | = ( 3 - ( - 2 ) , 7 - ( - 1 ) , 2 - 1 ) = ( 5 , 8 , 1 ) | | M3M2 | | Данные векторы имеют свое начало в точке M3. |
| Очевидно, что если все четыре точки лежат в одной плоскости, то объем треугольной пирамиды, ребрами которой являются найденные векторы, равен нулю. |
| Равенство нулю объема рассматриваемой пирамиды записывается следующим образом: |
| |
| x - ( - 2 ) | y - ( - 1 ) | z - 1 | |
= 0 |
| 3 | 3 | -3 | | 5 | 8 | 1 |
| Представим данный определитель в виде разности двух определителей. |
| |
| x - ( - 2 ) | y - ( - 1 ) | z - 1 | |
= |
| 3 | 3 | -3 | | 5 | 8 | 1 |
|
|
|
| Первый определитель разлагаем по первой строке. |
| = ( - 1 )1+1 * x * |
| 3 | -3 | |
|
| 8 | 1 |
|
| + ( - 1 )1+2 * y * |
| 3 | -3 | |
|
| 5 | 1 |
|
| + ( - 1 )1+3 * z * |
| 3 | 3 | |
|
| 5 | 8 |
|
|
| = x * det A - y * det B + z * det C - det D = 0 |
| det A = |
| 3 | -3 | |
= 3 * 1 - ( -3) * 8 = 3 - ( -24) = 27 |
| 8 | 1 |
| det B = |
| 3 | -3 | |
= 3 * 1 - ( -3) * 5 = 3 - ( -15) = 18 |
| 5 | 1 |
| det C = |
| 3 | 3 | |
= 3 * 8 - 3 * 5 = 24 - 15 = 9 |
| 5 | 8 |
| det D = |
| -2 | -1 | 1 | |
= |
| 3 | 3 | -3 | | 5 | 8 | 1 |
| К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 3. |
| Разлагаем определитель по элементам второй строки. |
| = ( - 1 )2+1 * ( -3) * |
| -1 | 1 | |
+ |
| 8 | 1 |
|
| ( - 1 )2+2 * 0* |
| -2 | 1 | |
+ |
| 5 | 1 |
|
| ( - 1 )2+3 * 0* |
| -2 | -1 | |
= |
| 5 | 8 |
|
| = 3* ( ( -1) * 1 - 1 * 8 ) = |
| Подставим найденные значения определителей и получим уравнение плоскости. |
| 27 * x - 18 * y + 9 * z + 27 = 0 |
| Разделим коэффициенты уравнения на 9 . |
| Окончательно получим искомое уравнение плоскости. |
| 3 * x - 2 * y + z + 3 = 0 |
|
|
|
Copyright © 2010-2011, www.reshmat.ru
При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна. |
