Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом алгебраических дополнений.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений.

Пример №1. Нахождение обратной матрицы второго порядка методом алгебраических дополнений.
Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом алгебраических дополнений.
Другие примеры:     3     4     5     6     7     8     9     10  
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Найти матрицу A -1, обратную матрице А.
A = Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 a13 Знак системы
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде:
A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, если det A равен нулю, то обратная матрица A -1 НЕ существует !!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица НЕ существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 111 =
123
136
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2. (Подробнее)
= 111 =
123
1 - 1 * 23 - 2 * 26 - 3 * 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 111 =
123
-1-10
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3. (Подробнее)
= 111 =
1 - 1 * 32 - 1 * 33 - 1 * 3
-1-10
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 111 =
-2-10
-1-10

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
111
-2-10
-1-10
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 1 *
-2-1
-1-1
111
-2-10
-1-10
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
11
-1-1
111
-2-10
-1-10
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 0 *
11
-2-1
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 1 * -2-1=
-1-1
= -2-1=
-1-1
= -2 * ( -1) - ( -1) * ( -1) =
= 2 - 1 =
= 1
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = 23   =   2 * 6 - 3 * 3   =   12 - 9   =   3
36
A11 = M11 = 3

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 13   =   1 * 6 - 3 * 1   =   6 - 3   =   3
16
A12 = - M12 = -3

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.

Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 4 * M 13 = 1 * M 13 = M 13
M 13 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.
M13 = 12   =   1 * 3 - 2 * 1   =   3 - 2   =   1
13
A13 = M13 = 1

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 11   =   1 * 6 - 1 * 3   =   6 - 3   =   3
36
A21 = - M21 = -3

2.5. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 11   =   1 * 6 - 1 * 1   =   6 - 1   =   5
16
A22 = M22 = 5

2.6. Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.

Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 5 * M 23 = - 1 * M 23 = - M 23
M 23 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.
M23 = 11   =   1 * 3 - 1 * 1   =   3 - 1   =   2
13
A23 = - M23 = -2

2.7. Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.

Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 4 * M 31 = 1 * M 31 = M 31
M 31 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.
M31 = 11   =   1 * 3 - 1 * 2   =   3 - 2   =   1
23
A31 = M31 = 1

2.8. Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.

Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 5 * M 32 = - 1 * M 32 = - M 32
M 32 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.
M32 = 11   =   1 * 3 - 1 * 1   =   3 - 1   =   2
13
A32 = - M32 = -2

2.9. Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.

Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 6 * M 33 = 1 * M 33 = M 33
M 33 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.
M33 = 11   =   1 * 2 - 1 * 1   =   2 - 1   =   1
12
A33 = M33 = 1

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!

Ответ:

A -1 = Знак системы 3 -3 1 Знак системы
-3 5 -2
1 -2 1

4. Выполним проверку.

A * A -1 = Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
*
Знак системы 3 -3 1 Знак системы
-3 5 -2
1 -2 1
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1
A -1 * A = Знак системы 3 -3 1 Знак системы
-3 5 -2
1 -2 1
*
Знак системы 1 1 1 Знак системы
1 2 3
1 3 6
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки