 |
|
Решение задач по математике онлайн |
|
| >> Пример №3. Решение системы линейных уравнений четвертого порядка методом Крамера. |
|
|
|
Метод Крамера. (Решение системы линейных уравнений) |
|
|
| Пример №3. Решение системы линейных уравнений четвертого порядка методом Крамера. |
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
 | 2 x1 | + 5 x2 | + 4 x3 | + x4 | = | 20 | | x1 | + 3 x2 | + 2 x3 | + x4 | = | 11 | | 2 x1 | + 10 x2 | + 9 x3 | + 9 x4 | = | 40 | | 3 x1 | + 8 x2 | + 9 x3 | + 2 x4 | = | 37 |
| x1 = det A1 / det A = -9 / -9 = 1 |
| x2 = det A2 / det A = -18 / -9 = 2 |
| x3 = det A3 / det A = -18 / -9 = 2 |
| x4 = det A4 / det A = 0 / -9 = 0 |
| det A = |
| 2 | 5 | 4 | 1 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | 1 | | 2 | 10 | 9 | 9 | | 3 | 8 | 9 | 2 |
| Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 2. |
| = |
| 0 | -1 | 0 | -1 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | 1 | | 2 | 10 | 9 | 9 | | 3 | 8 | 9 | 2 |
| Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 4 . |
| = |
| 0 | 0 | 0 | -1 | |
= |
| 1 | 2 | 2 | 1 | | 2 | 1 | 9 | 9 | | 3 | 6 | 9 | 2 |
| Разлагаем определитель по элементам первой строки. |
| = ( - 1 )1+1 * 0* |
| 2 | 2 | 1 | |
+ |
| 1 | 9 | 9 | | 6 | 9 | 2 |
|
| ( - 1 )1+2 * 0* |
| 1 | 2 | 1 | |
+ |
| 2 | 9 | 9 | | 3 | 9 | 2 |
|
| ( - 1 )1+3 * 0* |
| 1 | 2 | 1 | |
+ |
| 2 | 1 | 9 | | 3 | 6 | 2 |
|
| ( - 1 )1+4 * ( -1) * |
| 1 | 2 | 2 | |
= |
| 2 | 1 | 9 | | 3 | 6 | 9 |
|
| = 1 detC1 | = 1 * ( -9) | = -9 |
| detC1 = |
| 1 | 2 | 2 | |
= |
| 2 | 1 | 9 | | 3 | 6 | 9 |
| Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 3. |
| Разлагаем определитель по элементам третьей строки. |
| = ( - 1 )3+1 * 0* |
| 2 | 2 | |
+ |
| 1 | 9 |
|
| ( - 1 )3+2 * 0* |
| 1 | 2 | |
+ |
| 2 | 9 |
|
| ( - 1 )3+3 * 3* |
| 1 | 2 | |
= |
| 2 | 1 |
|
| Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. |
| det A1 = |
| 20 | 5 | 4 | 1 | |
= |
| 11 | 3 | 2 | 1 | | 40 | 10 | 9 | 9 | | 37 | 8 | 9 | 2 |
| Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 4. |
| = |
| 0 | 5 | 4 | 1 | |
= |
| -1 | 3 | 2 | 1 | | 0 | 10 | 9 | 9 | | 5 | 8 | 9 | 2 |
| К элементам строки 4 прибавляем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 5. |
| = |
| 0 | 5 | 4 | 1 | |
= |
| -1 | 3 | 2 | 1 | | 0 | 10 | 9 | 9 | | 0 | 23 | 19 | 7 |
| Разлагаем определитель по элементам первого столбца. |
| = ( - 1 )1+1 * 0* |
| 3 | 2 | 1 | |
+ |
| 10 | 9 | 9 | | 23 | 19 | 7 |
|
| ( - 1 )2+1 * ( -1) * |
| 5 | 4 | 1 | |
+ |
| 10 | 9 | 9 | | 23 | 19 | 7 |
|
| ( - 1 )3+1 * 0* |
| 5 | 4 | 1 | |
+ |
| 3 | 2 | 1 | | 23 | 19 | 7 |
|
| ( - 1 )4+1 * 0* |
| 5 | 4 | 1 | |
= |
| 3 | 2 | 1 | | 10 | 9 | 9 |
|
| = 1* |
| 5 | 4 | 1 | |
= |
| 10 | 9 | 9 | | 23 | 19 | 7 |
|
| = 1 detC1 | = 1 * ( -9) | = -9 |
| detC1 = |
| 5 | 4 | 1 | |
= |
| 10 | 9 | 9 | | 23 | 19 | 7 |
| Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 7. |
| = |
| 5 | 4 | 1 | |
= |
| 10 | 9 | 9 | | -12 | -9 | 0 |
| Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 9. |
| = |
| 5 | 4 | 1 | |
= |
| -35 | -27 | 0 | | -12 | -9 | 0 |
| Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. |
| = ( - 1 )1+3 * 1* |
| -35 | -27 | |
+ |
| -12 | -9 |
|
| ( - 1 )2+3 * 0* |
| 5 | 4 | |
+ |
| -12 | -9 |
|
| ( - 1 )3+3 * 0* |
| 5 | 4 | |
= |
| -35 | -27 |
|
| = 1* ( ( -35) * ( -9) - ( -27) * ( -12) ) = |
| Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. |
| det A2 = |
| 2 | 20 | 4 | 1 | |
= |
| 1 | 11 | 2 | 1 | | 2 | 40 | 9 | 9 | | 3 | 37 | 9 | 2 |
| Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 2. |
| = |
| 0 | -2 | 0 | -1 | |
= |
| 1 | 11 | 2 | 1 | | 2 | 40 | 9 | 9 | | 3 | 37 | 9 | 2 |
| Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 4 , умноженные на 2. |
| = |
| 0 | 0 | 0 | -1 | |
= |
| 1 | 9 | 2 | 1 | | 2 | 22 | 9 | 9 | | 3 | 33 | 9 | 2 |
| Разлагаем определитель по элементам первой строки. |
| = ( - 1 )1+1 * 0* |
| 9 | 2 | 1 | |
+ |
| 22 | 9 | 9 | | 33 | 9 | 2 |
|
| ( - 1 )1+2 * 0* |
| 1 | 2 | 1 | |
+ |
| 2 | 9 | 9 | | 3 | 9 | 2 |
|
| ( - 1 )1+3 * 0* |
| 1 | 9 | 1 | |
+ |
| 2 | 22 | 9 | | 3 | 33 | 2 |
|
| ( - 1 )1+4 * ( -1) * |
| 1 | 9 | 2 | |
= |
| 2 | 22 | 9 | | 3 | 33 | 9 |
|
| = 1* |
| 1 | 9 | 2 | |
= |
| 2 | 22 | 9 | | 3 | 33 | 9 |
|
| = 1 detC1 | = 1 * ( -18) | = -18 |
| detC1 = |
| 1 | 9 | 2 | |
= |
| 2 | 22 | 9 | | 3 | 33 | 9 |
| Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 1 , умноженные на 11. |
| Разлагаем определитель по элементам второго столбца. |
| = ( - 1 )1+2 * ( -2) * |
| 2 | 9 | |
+ |
| 3 | 9 |
|
| ( - 1 )2+2 * 0* |
| 1 | 2 | |
+ |
| 3 | 9 |
|
| ( - 1 )3+2 * 0* |
| 1 | 2 | |
= |
| 2 | 9 |
|
| Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. |
| det A3 = |
| 2 | 5 | 20 | 1 | |
= |
| 1 | 3 | 11 | 1 | | 2 | 10 | 40 | 9 | | 3 | 8 | 37 | 2 |
| Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 4. |
| = |
| 2 | 5 | 0 | 1 | |
= |
| 1 | 3 | -1 | 1 | | 2 | 10 | 0 | 9 | | 3 | 8 | 5 | 2 |
| К элементам строки 4 прибавляем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 5. |
| = |
| 2 | 5 | 0 | 1 | |
= |
| 1 | 3 | -1 | 1 | | 2 | 10 | 0 | 9 | | 8 | 23 | 0 | 7 |
| Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. |
| = ( - 1 )1+3 * 0* |
| 1 | 3 | 1 | |
+ |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 7 |
|
| ( - 1 )2+3 * ( -1) * |
| 2 | 5 | 1 | |
+ |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 7 |
|
| ( - 1 )3+3 * 0* |
| 2 | 5 | 1 | |
+ |
| 1 | 3 | 1 | | 8 | 23 | 7 |
|
| ( - 1 )4+3 * 0* |
| 2 | 5 | 1 | |
= |
| 1 | 3 | 1 | | 2 | 10 | 9 |
|
| = 1* |
| 2 | 5 | 1 | |
= |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 7 |
|
| = 1 detC1 | = 1 * ( -18) | = -18 |
| detC1 = |
| 2 | 5 | 1 | |
= |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 7 |
| Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 4. |
| Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 . |
| Разлагаем определитель по элементам третьей строки. |
| = ( - 1 )3+1 * 0* |
| 4 | 1 | |
+ |
| 1 | 9 |
|
| ( - 1 )3+2 * 0* |
| 2 | 1 | |
+ |
| 2 | 9 |
|
| ( - 1 )3+3 * 3* |
| 2 | 4 | |
= |
| 2 | 1 |
|
| Определитель det A4 получается из определителя det A , путем замены четвертого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. |
| det A4 = |
| 2 | 5 | 4 | 20 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | 11 | | 2 | 10 | 9 | 40 | | 3 | 8 | 9 | 37 |
| Из элементов столбца 4 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 4. |
| = |
| 2 | 5 | 4 | 0 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | -1 | | 2 | 10 | 9 | 0 | | 3 | 8 | 9 | 5 |
| К элементам строки 4 прибавляем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 5. |
| = |
| 2 | 5 | 4 | 0 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | -1 | | 2 | 10 | 9 | 0 | | 8 | 23 | 19 | 0 |
| Разлагаем определитель по элементам четвертого столбца. |
| = ( - 1 )1+4 * 0* |
| 1 | 3 | 2 | |
+ |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 19 |
|
| ( - 1 )2+4 * ( -1) * |
| 2 | 5 | 4 | |
+ |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 19 |
|
| ( - 1 )3+4 * 0* |
| 2 | 5 | 4 | |
+ |
| 1 | 3 | 2 | | 8 | 23 | 19 |
|
| ( - 1 )4+4 * 0* |
| 2 | 5 | 4 | |
= |
| 1 | 3 | 2 | | 2 | 10 | 9 |
|
| = ( -1) * |
| 2 | 5 | 4 | |
= |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 19 |
|
| = ( -1) detC1 | = ( -1) * 0 | = 0 |
| detC1 = |
| 2 | 5 | 4 | |
= |
| 2 | 10 | 9 | | 8 | 23 | 19 |
| Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 4. |
| Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 . |
| Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 2. |
| Разлагаем определитель по элементам первого столбца. |
| = ( - 1 )1+1 * 0* |
| 1 | 9 | |
+ |
| 0 | 3 |
|
| ( - 1 )2+1 * 0* |
| 1 | 4 | |
+ |
| 0 | 3 |
|
| ( - 1 )3+1 * 0* |
| 1 | 4 | |
= |
| 1 | 9 |
|
|
|
Copyright © 2010-2011, www.reshmat.ru
При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна. |
