Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №3. Подробное вычисление определителя матрицы пятого порядка.


Определитель матрицы. Метод разложения определителя по строке или столбцу.
Пример №1. Вычисление определителя матрицы третьего порядка. Пример №1 , но более подробно
Пример №2. Вычисление определителя матрицы четвертого порядка. Пример №2 , но более подробно
Пример №3. Вычисление определителя матрицы пятого порядка. Пример №3 , но более подробно

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.


перейти к решению своей задачи

Используем следующее свойство определителя :
Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.
Для столбцов все аналогично.

Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.


Найдем det A.
det A =   4 3 -4 2 2  =
2 -1 -3 -4 2
3 1 1 2 -1
1 2 3 4 -1
-1 1 -1 -2 3

К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 4 .

       =   4 3 -4 2 2  =
3 1 0 0 1
3 1 1 2 -1
1 2 3 4 -1
-1 1 -1 -2 3

Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 5 .

       =   4 1 -4 2 2  =
3 0 0 0 1
3 2 1 2 -1
1 3 3 4 -1
-1 -2 -1 -2 3

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 5 , умноженные на 3.

       =   -2 1 -4 2 2  =
0 0 0 0 1
6 2 1 2 -1
4 3 3 4 -1
-10 -2 -1 -2 3

Разлагаем определитель по элементам второй строки.
Введем обозначения элементов ( a i j ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.
det A =   a11 a12 a13 a14 a15 
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55

Формула разложения определителя A по строке 2, выглядит следующим образом :
det A = ( -1 ) 2+1 * a21 * M21 + ( -1 ) 2+2 * a22 * M22 + ( -1 ) 2+3 * a23 * M23 + ( -1 ) 2+4 * a24 * M24 + ( -1 ) 2+5 * a25 * M25 ,
где M 2 i - миноры соответствующих элементов строки 2.
Подставим элементы строки 2 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.
det A = ( -1 ) 2+1 * 0 * M21 + ( -1 ) 2+2 * 0 * M22 + ( -1 ) 2+3 * 0 * M23 + ( -1 ) 2+4 * 0 * M24 + ( -1 ) 2+5 * 1 * M25
  • Рассмотрим, как образуется минор M21 элемента a21 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 1 .
    •   -2 1 -4 2 2 
    0 0 0 0 1
    6 2 1 2 -1
    4 3 3 4 -1
    -10 -2 -1 -2 3

    M21 =   1 -4 2 2 
    2 1 2 -1
    3 3 4 -1
    -2 -1 -2 3

  • Рассмотрим, как образуется минор M22 элемента a22 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 2 .
    •   -2 1 -4 2 2 
    0 0 0 0 1
    6 2 1 2 -1
    4 3 3 4 -1
    -10 -2 -1 -2 3

    M22 =   -2 -4 2 2 
    6 1 2 -1
    4 3 4 -1
    -10 -1 -2 3

  • Рассмотрим, как образуется минор M23 элемента a23 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 3 .
    •   -2 1 -4 2 2 
    0 0 0 0 1
    6 2 1 2 -1
    4 3 3 4 -1
    -10 -2 -1 -2 3

    M23 =   -2 1 2 2 
    6 2 2 -1
    4 3 4 -1
    -10 -2 -2 3

  • Рассмотрим, как образуется минор M24 элемента a24 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 4 .
    •   -2 1 -4 2 2 
    0 0 0 0 1
    6 2 1 2 -1
    4 3 3 4 -1
    -10 -2 -1 -2 3

    M24 =   -2 1 -4 2 
    6 2 1 -1
    4 3 3 -1
    -10 -2 -1 3

  • Рассмотрим, как образуется минор M25 элемента a25 = 1 .
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 5 .
    •   -2 1 -4 2 2 
    0 0 0 0 1
    6 2 1 2 -1
    4 3 3 4 -1
    -10 -2 -1 -2 3

    M25 =   -2 1 -4 2 
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -10 -2 -1 -2

    Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

    = ( - 1 )2+1 * 0*   1 -4 2 2  +
    2 1 2 -1
    3 3 4 -1
    -2 -1 -2 3

    ( - 1 )2+2 * 0*   -2 -4 2 2  +
    6 1 2 -1
    4 3 4 -1
    -10 -1 -2 3

    ( - 1 )2+3 * 0*   -2 1 2 2  +
    6 2 2 -1
    4 3 4 -1
    -10 -2 -2 3

    ( - 1 )2+4 * 0*   -2 1 -4 2  +
    6 2 1 -1
    4 3 3 -1
    -10 -2 -1 3

    ( - 1 )2+5 * 1*   -2 1 -4 2  =
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -10 -2 -1 -2


    = ( -1) *   -2 1 -4 2  =
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -10 -2 -1 -2


    = ( -1) detB1 = ( -1) * 48   = -48 

    detB1 =   -2 1 -4 2  =
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -10 -2 -1 -2

    К элементам строки 4 прибавляем соответствующие элементы строки 2 .

           =   -2 1 -4 2  =
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -4 0 0 0

    Разлагаем определитель по элементам четвертой строки.
    Введем обозначения элементов ( a i j ) нашего определителя B1 . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.
    detB1 =   a11 a12 a13 a14 
    a21 a22 a23 a24
    a31 a32 a33 a34
    a41 a42 a43 a44

    Формула разложения определителя B1 по строке 4, выглядит следующим образом :
    detB1 = ( -1 ) 4+1 * a41 * M41 + ( -1 ) 4+2 * a42 * M42 + ( -1 ) 4+3 * a43 * M43 + ( -1 ) 4+4 * a44 * M44 ,
    где M 4 i - миноры соответствующих элементов строки 4.
    Подставим элементы строки 4 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.
    detB1 = ( -1 ) 4+1 * ( -4) * M41 + ( -1 ) 4+2 * 0 * M42 + ( -1 ) 4+3 * 0 * M43 + ( -1 ) 4+4 * 0 * M44
  • Рассмотрим, как образуется минор M41 элемента a41 = -4 .
    В нашем определителе вычеркиваем строку 4 и столбец 1 .
    •   -2 1 -4 2 
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -4 0 0 0

    M41 =   1 -4 2 
    2 1 2
    3 3 4

  • Рассмотрим, как образуется минор M42 элемента a42 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 4 и столбец 2 .
    •   -2 1 -4 2 
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -4 0 0 0

    M42 =   -2 -4 2 
    6 1 2
    4 3 4

  • Рассмотрим, как образуется минор M43 элемента a43 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 4 и столбец 3 .
    •   -2 1 -4 2 
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -4 0 0 0

    M43 =   -2 1 2 
    6 2 2
    4 3 4

  • Рассмотрим, как образуется минор M44 элемента a44 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 4 и столбец 4 .
    •   -2 1 -4 2 
    6 2 1 2
    4 3 3 4
    -4 0 0 0

    M44 =   -2 1 -4 
    6 2 1
    4 3 3

    Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

    = ( - 1 )4+1 * ( -4) *   1 -4 2  +
    2 1 2
    3 3 4

    ( - 1 )4+2 * 0*   -2 -4 2  +
    6 1 2
    4 3 4

    ( - 1 )4+3 * 0*   -2 1 2  +
    6 2 2
    4 3 4

    ( - 1 )4+4 * 0*   -2 1 -4  =
    6 2 1
    4 3 3


    = 4*   1 -4 2  =
    2 1 2
    3 3 4


    = 4 detC1 = 4 * 12   = 48 

    detC1 =   1 -4 2  =
    2 1 2
    3 3 4

    Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 2.

           =   1 -4 2  =
    2 1 2
    -1 1 0

    Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .

           =   -1 -5 0  =
    2 1 2
    -1 1 0

    Разлагаем определитель по элементам третьего столбца.
    Введем обозначения элементов ( a i j ) нашего определителя C1 . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.
    detC1 =   a11 a12 a13 
    a21 a22 a23
    a31 a32 a33

    Формула разложения определителя C1 по столбцу 3, выглядит следующим образом :
    detC1 = ( -1 ) 1+3 * a13 * M13 + ( -1 ) 2+3 * a23 * M23 + ( -1 ) 3+3 * a33 * M33 ,
    где M i 3 - миноры соответствующих элементов столбца 3.
    Подставим элементы столбца 3 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.
    detC1 = ( -1 ) 1+3 * 0 * M13 + ( -1 ) 2+3 * 2 * M23 + ( -1 ) 3+3 * 0 * M33
  • Рассмотрим, как образуется минор M13 элемента a13 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .
    •   -1 -5 0 
    2 1 2
    -1 1 0

    M13 =   2 1 
    -1 1

  • Рассмотрим, как образуется минор M23 элемента a23 = 2 .
    В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 3 .
    •   -1 -5 0 
    2 1 2
    -1 1 0

    M23 =   -1 -5 
    -1 1

  • Рассмотрим, как образуется минор M33 элемента a33 = 0 ( он нам не нужен ).
    В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 3 .
    •   -1 -5 0 
    2 1 2
    -1 1 0

    M33 =   -1 -5 
    2 1

    Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

    = ( - 1 )1+3 * 0*   2 1  +
    -1 1

    ( - 1 )2+3 * 2*   -1 -5  +
    -1 1

    ( - 1 )3+3 * 0*   -1 -5  =
    2 1


    = ( -2) *   -1 -5  =
    -1 1


    = ( -2) * ( ( -1) * 1 - ( -5) * ( -1) ) =

    = ( -2) * ( -6) = 12

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100