 |
Решение задач по математике онлайн |
|
|
| >> Пример №2. Подробное вычисление определителя матрицы четвертого порядка. |
|
|
Определитель матрицы. Метод разложения определителя по строке или столбцу. |
| |
|
| . | |
Пример №2 , но более подробно |
| |
|
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Используем следующее свойство определителя :
Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.
Для столбцов все аналогично.
|
Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.
|
| det A = |
| 25 | 31 | 17 | 43 | |
= |
| 75 | 94 | 53 | 132 | | 75 | 94 | 54 | 134 | | 25 | 32 | 20 | 48 |
| Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2 . |
| = |
| 25 | 31 | 17 | 43 | |
= |
| 75 | 94 | 53 | 132 | | 0 | 0 | 1 | 2 | | 25 | 32 | 20 | 48 |
| Из элементов столбца 4 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 2. |
| = |
| 25 | 31 | 17 | 9 | |
= |
| 75 | 94 | 53 | 26 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 25 | 32 | 20 | 8 |
| Разлагаем определитель по элементам третьей строки. |
| Введем обозначения элементов ( a i j ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент. |
| det A = |
| a11 | a12 | a13 | a14 | |
|
| a21 | a22 | a23 | a24 | | a31 | a32 | a33 | a34 | | a41 | a42 | a43 | a44 |
| Формула разложения определителя A по строке 3, выглядит следующим образом : |
| det A = ( -1 ) 3+1 * a31 * M31 + ( -1 ) 3+2 * a32 * M32 + ( -1 ) 3+3 * a33 * M33 + ( -1 ) 3+4 * a34 * M34 , |
| где M 3 i - миноры соответствующих элементов строки 3. |
| Подставим элементы строки 3 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим. |
| det A = ( -1 ) 3+1 * 0 * M31 + ( -1 ) 3+2 * 0 * M32 + ( -1 ) 3+3 * 1 * M33 + ( -1 ) 3+4 * 0 * M34 |
Рассмотрим, как образуется минор M31 элемента a31 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 1 . |
| |
| 25 | 31 | 17 | 9 | |
|
| 75 | 94 | 53 | 26 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 25 | 32 | 20 | 8 |
|
| M31 = |
| 31 | 17 | 9 | |
|
| 94 | 53 | 26 | | 32 | 20 | 8 |
|
Рассмотрим, как образуется минор M32 элемента a32 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 2 . |
| |
| 25 | 31 | 17 | 9 | |
|
| 75 | 94 | 53 | 26 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 25 | 32 | 20 | 8 |
|
| M32 = |
| 25 | 17 | 9 | |
|
| 75 | 53 | 26 | | 25 | 20 | 8 |
|
Рассмотрим, как образуется минор M33 элемента a33 = 1 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 3 . |
| |
| 25 | 31 | 17 | 9 | |
|
| 75 | 94 | 53 | 26 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 25 | 32 | 20 | 8 |
|
| M33 = |
| 25 | 31 | 9 | |
|
| 75 | 94 | 26 | | 25 | 32 | 8 |
|
Рассмотрим, как образуется минор M34 элемента a34 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 4 . |
| |
| 25 | 31 | 17 | 9 | |
|
| 75 | 94 | 53 | 26 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 25 | 32 | 20 | 8 |
|
| M34 = |
| 25 | 31 | 17 | |
|
| 75 | 94 | 53 | | 25 | 32 | 20 |
|
| Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры. |
| = ( - 1 )3+1 * 0* |
| 31 | 17 | 9 | |
+ |
| 94 | 53 | 26 | | 32 | 20 | 8 |
|
| ( - 1 )3+2 * 0* |
| 25 | 17 | 9 | |
+ |
| 75 | 53 | 26 | | 25 | 20 | 8 |
|
| ( - 1 )3+3 * 1* |
| 25 | 31 | 9 | |
+ |
| 75 | 94 | 26 | | 25 | 32 | 8 |
|
| ( - 1 )3+4 * 0* |
| 25 | 31 | 17 | |
= |
| 75 | 94 | 53 | | 25 | 32 | 20 |
|
| = 1* |
| 25 | 31 | 9 | |
= |
| 75 | 94 | 26 | | 25 | 32 | 8 |
|
| detC1 = |
| 25 | 31 | 9 | |
= |
| 75 | 94 | 26 | | 25 | 32 | 8 |
| Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1 , умноженные на 3. |
| = |
| 25 | 31 | 9 | |
= |
| 0 | 1 | -1 | | 25 | 32 | 8 |
| Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3 . |
| = |
| 0 | -1 | 1 | |
= |
| 0 | 1 | -1 | | 25 | 32 | 8 |
| К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2 . |
| Разлагаем определитель по элементам первой строки. |
| Введем обозначения элементов ( a i j ) нашего определителя C1 . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент. |
| detC1 = |
| a11 | a12 | a13 | |
|
| a21 | a22 | a23 | | a31 | a32 | a33 |
| Формула разложения определителя C1 по строке 1, выглядит следующим образом : |
| detC1 = ( -1 ) 1+1 * a11 * M11 + ( -1 ) 1+2 * a12 * M12 + ( -1 ) 1+3 * a13 * M13 , |
| где M 1 i - миноры соответствующих элементов строки 1. |
| Подставим элементы строки 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим. |
| detC1 = ( -1 ) 1+1 * 0 * M11 + ( -1 ) 1+2 * 0 * M12 + ( -1 ) 1+3 * 0 * M13 |
Рассмотрим, как образуется минор M11 элемента a11 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 . |
Рассмотрим, как образуется минор M12 элемента a12 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 . |
Рассмотрим, как образуется минор M13 элемента a13 = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 . |
| Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры. |
| = ( - 1 )1+1 * 0* |
| 1 | -1 | |
+ |
| 32 | 8 |
|
| ( - 1 )1+2 * 0* |
| 0 | -1 | |
+ |
| 25 | 8 |
|
| ( - 1 )1+3 * 0* |
| 0 | 1 | |
= |
| 25 | 32 |
|
|
|
Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна. |
