Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №1. Подробное вычисление определителя матрицы третьего порядка.

Определитель матрицы. Метод разложения определителя по строке или столбцу.

Пример №1. Вычисление определителя матрицы третьего порядка.		Пример №1 , но более подробно
Пример №2. Вычисление определителя матрицы четвертого порядка.		Пример №2 , но более подробно
Пример №3. Вычисление определителя матрицы пятого порядка.		Пример №3 , но более подробно

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

В большинстве решаемых задач Вам придется вычислять определитель именно третьего порядка. Вариантов вычисления определителя третьего порядка достаточно много. Понятно, что в итоге, Вы остановитесь на каком то одном способе, но ознакомиться с возможными вариантами будет не лишним.

1. Вычисление определителя третьего порядка методом разложения по строке или столбцу, используя предварительное преобразование определителя.

Используем следующее свойство определителя :
Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.
Для столбцов все аналогично.

Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.

Найдем det A.

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1 .

=	4	-2	0	=
	10	2	2
	1	2	1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3 , умноженные на 2.

=	4	-2	0	=
	8	-2	0
	1	2	1

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца.

Введем обозначения элементов ( a_{i j} ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по столбцу 3, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ + ( -1 ) ²⁺³ * a₂₃ * M₂₃ + ( -1 ) ³⁺³ * a₃₃ * M₃₃ ,

где M_{i 3} - миноры соответствующих элементов столбца 3.

Подставим элементы столбца 3 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺³ * 0 * M₁₃ + ( -1 ) ²⁺³ * 0 * M₂₃ + ( -1 ) ³⁺³ * 1 * M₃₃

Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

4	-2	0
8	-2	0
1	2	1

M₁₃ =		8	-2
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₃ элемента a₂₃ = 0 ( он нам не нужен ).
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 3 .

4	-2	0
8	-2	0
1	2	1

M₂₃ =		4	-2
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₃₃ элемента a₃₃ = 1 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 3 .

4	-2	0
8	-2	0
1	2	1

M₃₃ =		4	-2
		8	-2

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )¹⁺³ * 0*		8	-2		+
		1	2

( - 1 )²⁺³ * 0*		4	-2		+
		1	2

( - 1 )³⁺³ * 1*		4	-2		=
		8	-2

= 1*		4	-2		=
		8	-2

= 1* ( 4 * ( -2) - ( -2) * 8 ) =

= 1 * 8

= 8

2. Правило Саррюса.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃	= a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ + a₁₂ * a₂₃ * a₃₁ + a₁₃ * a₂₁ * a₃₂ - a₁₃ * a₂₂ * a₃₁ - a₁₂ * a₂₁ * a₃₃ - a₁₁ * a₂₃ * a₃₂
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

= 4 * 2 * 2 + ( -2) * 12 * 1 + 4 * 10 * 2 - 4 * 2 * 1 - ( -2) * 10 * 2 - 4 * 12 * 2 = 8

3 - 8 . Вычисление определителя третьего порядка методом разложения по строке или столбцу, без предварительного преобразования определителя.

3 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по строке 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * a₁₂ * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ ,

где M_{1 i} - миноры соответствующих элементов строки 1.

Подставим элементы строки 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * 4 * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * ( -2) * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * 4 * M₁₃

Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 4 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₁ =		2	12
		2	2

Рассмотрим, как образуется минор M₁₂ элемента a₁₂ = -2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₂ =		10	12
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 4 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₃ =		10	2
		1	2

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )¹⁺¹ * 4*		2	12		+
		2	2

( - 1 )¹⁺² * ( -2) *		10	12		+
		1	2

( - 1 )¹⁺³ * 4*		10	2		=
		1	2

= 4*		2	12		+
		2	2

2*		10	12		+
		1	2

4*		10	2		=
		1	2

= 4* ( 2 * 2 - 12 * 2 ) +

2* ( 10 * 2 - 12 * 1 ) +

4* ( 10 * 2 - 2 * 1 ) =

= 4 * ( -20) +

2 * 8 +

4 * 18

= 8

4 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам второй строки.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по строке 2, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ²⁺¹ * a₂₁ * M₂₁ + ( -1 ) ²⁺² * a₂₂ * M₂₂ + ( -1 ) ²⁺³ * a₂₃ * M₂₃ ,

где M_{2 i} - миноры соответствующих элементов строки 2.

Подставим элементы строки 2 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ²⁺¹ * 10 * M₂₁ + ( -1 ) ²⁺² * 2 * M₂₂ + ( -1 ) ²⁺³ * 12 * M₂₃

Рассмотрим, как образуется минор M₂₁ элемента a₂₁ = 10 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₁ =		-2	4
		2	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₂ элемента a₂₂ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₂ =		4	4
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₃ элемента a₂₃ = 12 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₃ =		4	-2
		1	2

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )²⁺¹ * 10*		-2	4		+
		2	2

( - 1 )²⁺² * 2*		4	4		+
		1	2

( - 1 )²⁺³ * 12*		4	-2		=
		1	2

= ( -10) *		-2	4		+
		2	2

2*		4	4		+
		1	2

( -12) *		4	-2		=
		1	2

= ( -10) * ( ( -2) * 2 - 4 * 2 ) +

2* ( 4 * 2 - 4 * 1 ) +

( -12) * ( 4 * 2 - ( -2) * 1 ) =

= ( -10) * ( -12) +

2 * 4 +

( -12) * 10

= 8

5 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по строке 3, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ³⁺¹ * a₃₁ * M₃₁ + ( -1 ) ³⁺² * a₃₂ * M₃₂ + ( -1 ) ³⁺³ * a₃₃ * M₃₃ ,

где M_{3 i} - миноры соответствующих элементов строки 3.

Подставим элементы строки 3 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ³⁺¹ * 1 * M₃₁ + ( -1 ) ³⁺² * 2 * M₃₂ + ( -1 ) ³⁺³ * 2 * M₃₃

Рассмотрим, как образуется минор M₃₁ элемента a₃₁ = 1 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₁ =		-2	4
		2	12

Рассмотрим, как образуется минор M₃₂ элемента a₃₂ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₂ =		4	4
		10	12

Рассмотрим, как образуется минор M₃₃ элемента a₃₃ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₃ =		4	-2
		10	2

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )³⁺¹ * 1*		-2	4		+
		2	12

( - 1 )³⁺² * 2*		4	4		+
		10	12

( - 1 )³⁺³ * 2*		4	-2		=
		10	2

= 1*		-2	4		+
		2	12

( -2) *		4	4		+
		10	12

2*		4	-2		=
		10	2

= 1* ( ( -2) * 12 - 4 * 2 ) +

( -2) * ( 4 * 12 - 4 * 10 ) +

2* ( 4 * 2 - ( -2) * 10 ) =

= 1 * ( -32) +

( -2) * 8 +

2 * 28

= 8

6 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам первого столбца.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по столбцу 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ²⁺¹ * a₂₁ * M₂₁ + ( -1 ) ³⁺¹ * a₃₁ * M₃₁ ,

где M_{i 1} - миноры соответствующих элементов столбца 1.

Подставим элементы столбца 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * 4 * M₁₁ + ( -1 ) ²⁺¹ * 10 * M₂₁ + ( -1 ) ³⁺¹ * 1 * M₃₁

Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 4 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₁ =		2	12
		2	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₁ элемента a₂₁ = 10 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₁ =		-2	4
		2	2

Рассмотрим, как образуется минор M₃₁ элемента a₃₁ = 1 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 1 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₁ =		-2	4
		2	12

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )¹⁺¹ * 4*		2	12		+
		2	2

( - 1 )²⁺¹ * 10*		-2	4		+
		2	2

( - 1 )³⁺¹ * 1*		-2	4		=
		2	12

= 4*		2	12		+
		2	2

( -10) *		-2	4		+
		2	2

1*		-2	4		=
		2	12

= 4* ( 2 * 2 - 12 * 2 ) +

( -10) * ( ( -2) * 2 - 4 * 2 ) +

1* ( ( -2) * 12 - 4 * 2 ) =

= 4 * ( -20) +

( -10) * ( -12) +

1 * ( -32)

= 8

7 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам второго столбца.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по столбцу 2, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺² * a₁₂ * M₁₂ + ( -1 ) ²⁺² * a₂₂ * M₂₂ + ( -1 ) ³⁺² * a₃₂ * M₃₂ ,

где M_{i 2} - миноры соответствующих элементов столбца 2.

Подставим элементы столбца 2 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺² * ( -2) * M₁₂ + ( -1 ) ²⁺² * 2 * M₂₂ + ( -1 ) ³⁺² * 2 * M₃₂

Рассмотрим, как образуется минор M₁₂ элемента a₁₂ = -2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₂ =		10	12
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₂ элемента a₂₂ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₂ =		4	4
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₃₂ элемента a₃₂ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 2 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₂ =		4	4
		10	12

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )¹⁺² * ( -2) *		10	12		+
		1	2

( - 1 )²⁺² * 2*		4	4		+
		1	2

( - 1 )³⁺² * 2*		4	4		=
		10	12

= 2*		10	12		+
		1	2

2*		4	4		+
		1	2

( -2) *		4	4		=
		10	12

= 2* ( 10 * 2 - 12 * 1 ) +

2* ( 4 * 2 - 4 * 1 ) +

( -2) * ( 4 * 12 - 4 * 10 ) =

= 2 * 8 +

2 * 4 +

( -2) * 8

= 8

8 .

det A =	4	-2	4	=
	10	2	12
	1	2	2

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца.

det A =	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Формула разложения определителя A по столбцу 3, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ + ( -1 ) ²⁺³ * a₂₃ * M₂₃ + ( -1 ) ³⁺³ * a₃₃ * M₃₃ ,

где M_{i 3} - миноры соответствующих элементов столбца 3.

det A = ( -1 ) ¹⁺³ * 4 * M₁₃ + ( -1 ) ²⁺³ * 12 * M₂₃ + ( -1 ) ³⁺³ * 2 * M₃₃

Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 4 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₁₃ =		10	2
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₂₃ элемента a₂₃ = 12 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₂₃ =		4	-2
		1	2

Рассмотрим, как образуется минор M₃₃ элемента a₃₃ = 2 .
В нашем определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 3 .

4	-2	4
10	2	12
1	2	2

M₃₃ =		4	-2
		10	2

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( - 1 )¹⁺³ * 4*		10	2		+
		1	2

( - 1 )²⁺³ * 12*		4	-2		+
		1	2

( - 1 )³⁺³ * 2*		4	-2		=
		10	2

= 4*		10	2		+
		1	2

( -12) *		4	-2		+
		1	2

2*		4	-2		=
		10	2

= 4* ( 10 * 2 - 2 * 1 ) +

( -12) * ( 4 * 2 - ( -2) * 1 ) +

2* ( 4 * 2 - ( -2) * 10 ) =

= 4 * 18 +

( -12) * 10 +

2 * 28

= 8

обратная связь