Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №1. Вычисление определителя матрицы третьего порядка.

Определитель матрицы.
Вычисление определителя матрицы.

Пример №1. Вычисление определителя матрицы третьего порядка.
Пример №2. Вычисление определителя матрицы четвертого порядка.
Пример №3. Вычисление определителя матрицы пятого порядка.
Другие примеры:     4     5     6     7     8     9     10     11     12  
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Ниже представлены восемь вариантов вычисления определителя третьего порядка.
Как правило, первый вариант решения предпочтительнее.

1.

det A =2-24 =
325
122
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 2-24 - 2 * 2 =
325 - 3 * 2
122 - 1 * 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 2-20 =
32-1
120

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
2-20
32-1
120
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
32
12
2-20
32-1
120
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -1 *
2-2
12
2-20
32-1
120
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 0 *
2-2
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * ( -1) * 2-2=
12
= 2-2=
12
= 2 * 2 - ( -2) * 1 =
= 4 + 2 =
= 6

2.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
2-24
325
122
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 2 *
25
22
2-24
325
122
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * -2 *
35
12
2-24
325
122
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 4 *
32
12
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 2 * 25+
22
( - 1 ) 1 + 2 * ( -2) * 35+
12
( - 1 ) 1 + 3 * 4 * 32=
12
= 2 * 25
22
+ 2 * 35
12
+ 4 * 32=
12
= 2 * ( 2 * 2 - 5 * 2 ) + 2 * ( 3 * 2 - 5 * 1 ) + 4 * ( 3 * 2 - 2 * 1 ) =
= 2 * ( 4 - 10 ) + 2 * ( 6 - 5 ) + 4 * ( 6 - 2 ) =
= - 12 + 2 + 16 =
= 6

3.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
2-24
325
122
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 3 *
-24
22
2-24
325
122
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 2 *
24
12
2-24
325
122
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 5 *
2-2
12
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 2 + 1 * 3 * -24+
22
( - 1 ) 2 + 2 * 2 * 24+
12
( - 1 ) 2 + 3 * 5 * 2-2=
12
= - 3 * -24
22
+ 2 * 24
12
- 5 * 2-2=
12
= - 3 * ( -2 * 2 - 4 * 2 ) + 2 * ( 2 * 2 - 4 * 1 ) - 5 * ( 2 * 2 - ( -2) * 1 ) =
= - 3 * ( -4 - 8 ) + 2 * ( 4 - 4 ) - 5 * ( 4 + 2 ) =
= 36 - 30 =
= 6

4.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
2-24
325
122
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 1 *
-24
25
2-24
325
122
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 2 *
24
35
2-24
325
122
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 2 *
2-2
32
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 3 + 1 * 1 * -24+
25
( - 1 ) 3 + 2 * 2 * 24+
35
( - 1 ) 3 + 3 * 2 * 2-2=
32
= -24
25
- 2 * 24
35
+ 2 * 2-2=
32
= ( -2 * 5 - 4 * 2 ) - 2 * ( 2 * 5 - 4 * 3 ) + 2 * ( 2 * 2 - ( -2) * 3 ) =
= ( -10 - 8 ) - 2 * ( 10 - 12 ) + 2 * ( 4 + 6 ) =
= - 18 + 4 + 20 =
= 6

5.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
2-24
325
122
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 2 *
25
22
2-24
325
122
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 3 *
-24
22
2-24
325
122
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 1 *
-24
25
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 2 * 25+
22
( - 1 ) 2 + 1 * 3 * -24+
22
( - 1 ) 3 + 1 * 1 * -24=
25
= 2 * 25
22
- 3 * -24
22
+ -24=
25
= 2 * ( 2 * 2 - 5 * 2 ) - 3 * ( -2 * 2 - 4 * 2 ) + ( -2 * 5 - 4 * 2 ) =
= 2 * ( 4 - 10 ) - 3 * ( -4 - 8 ) + ( -10 - 8 ) =
= - 12 + 36 - 18 =
= 6

6.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
2-24
325
122
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * -2 *
35
12
2-24
325
122
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 2 *
24
12
2-24
325
122
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 2 *
24
35
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 2 * ( -2) * 35+
12
( - 1 ) 2 + 2 * 2 * 24+
12
( - 1 ) 3 + 2 * 2 * 24=
35
= 2 * 35
12
+ 2 * 24
12
- 2 * 24=
35
= 2 * ( 3 * 2 - 5 * 1 ) + 2 * ( 2 * 2 - 4 * 1 ) - 2 * ( 2 * 5 - 4 * 3 ) =
= 2 * ( 6 - 5 ) + 2 * ( 4 - 4 ) - 2 * ( 10 - 12 ) =
= 2 + 4 =
= 6

7.

det A =2-24 =
325
122

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
2-24
325
122
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 4 *
32
12
2-24
325
122
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 5 *
2-2
12
2-24
325
122
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 2 *
2-2
32
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 4 * 32+
12
( - 1 ) 2 + 3 * 5 * 2-2+
12
( - 1 ) 3 + 3 * 2 * 2-2=
32
= 4 * 32
12
- 5 * 2-2
12
+ 2 * 2-2=
32
= 4 * ( 3 * 2 - 2 * 1 ) - 5 * ( 2 * 2 - ( -2) * 1 ) + 2 * ( 2 * 2 - ( -2) * 3 ) =
= 4 * ( 6 - 2 ) - 5 * ( 4 + 2 ) + 2 * ( 4 + 6 ) =
= 16 - 30 + 20 =
= 6

8. Правило Саррюса

det A =2-24 =
325
122
2-242 * 2 * 2
325
122
2-244 * 2 * 1
325
122
2-24( -2) * 5 * 1
325
122
2-24( -2) * 3 * 2
325
122
2-244 * 3 * 2
325
122
2-242 * 5 * 2
325
122
Первые три произведения складываем. Из полученной суммы вычитаем оставшиеся три произведения.
Правило Саррюса необходимо просто запомнить.
Скрыть
= 2 * 2 * 2   +   ( -2) * 5 * 1    +   4 * 3 * 2   -   4 * 2 * 1   -   ( -2) * 3 * 2   -   2 * 5 * 2 =
= 8 - 10 + 24 - 8 + 12 - 20 =
= 6





© 2010–2015


Ссылки