Вычислить определитель матрицы 3х3

Пример №1. Вычисление определителя третьего порядка

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Пример №2. Вычисление определителя четвертого порядка
Пример №3. Вычисление определителя пятого порядка

1. Вычислим det A используя элементарные преобразования определителя.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -2. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4 + ( -1) * ( -2)	6 + 3 * ( -2)	5 + 1 * ( -2)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	-1	3	1	=
	5	5	3
	6	0	3

К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на -2. подробнее

-1 + 1 * ( -2)	3	1
5 + 3 * ( -2)	5	3
6 + 3 * ( -2)	0	3

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	-3	3	1	=
	-1	5	3
	0	0	3

Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее

-3	3	1
-1	5	3
0	0	3

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

		3	1
		5	3

-3	3	1
-1	5	3
0	0	3

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		-3	1
		-1	3

-3	3	1
-1	5	3
0	0	3

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		-3	3
		-1	5

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 3} * 3 *		-3	3		=
		-1	5

= 3 *		-3	3		=
		-1	5

= 3 * ( -3 * 5 - 3 * ( -1) ) =

= 3 * ( -15 + 3 ) =

= -36

2. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 1.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам строки 1. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 1

Элемент

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{1 + 1}

-1

		5	3
		6	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 2

Элемент

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{1 + 2}

		5	3
		4	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

		5	5
		4	6

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 1} * ( -1) *		5	3
		6	5

+ ( -1) ^{1 + 2} * 3 *		5	3
		4	5

+ ( -1) ^{1 + 3} * 1 *		5	5		=
		4	6

= -		5	3
		6	5

- 3 *		5	3
		4	5

+		5	5		=
		4	6

= - ( 5 * 5 - 3 * 6 )

- 3 * ( 5 * 5 - 3 * 4 )

+ ( 5 * 6 - 5 * 4 ) =

= - ( 25 - 18 )

- 3 * ( 25 - 12 )

+ ( 30 - 20 ) =

= -7

- 39

+ 10 =

= -36

3. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 2.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам строки 2. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 1

Элемент

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{2 + 1}

		3	1
		6	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 2

Элемент

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{2 + 2}

		-1	1
		4	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		-1	3
		4	6

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{2 + 1} * 5 *		3	1
		6	5

+ ( -1) ^{2 + 2} * 5 *		-1	1
		4	5

+ ( -1) ^{2 + 3} * 3 *		-1	3		=
		4	6

= - 5 *		3	1
		6	5

+ 5 *		-1	1
		4	5

- 3 *		-1	3		=
		4	6

= - 5 * ( 3 * 5 - 1 * 6 )

+ 5 * ( -1 * 5 - 1 * 4 )

- 3 * ( -1 * 6 - 3 * 4 ) =

= - 5 * ( 15 - 6 )

+ 5 * ( -5 - 4 )

- 3 * ( -6 - 12 ) =

= -45

- 45

+ 54 =

= -36

4. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 3.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

		3	1
		5	3

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		-1	1
		5	3

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		-1	3
		5	5

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 1} * 4 *		3	1
		5	3

+ ( -1) ^{3 + 2} * 6 *		-1	1
		5	3

+ ( -1) ^{3 + 3} * 5 *		-1	3		=
		5	5

= 4 *		3	1
		5	3

- 6 *		-1	1
		5	3

+ 5 *		-1	3		=
		5	5

= 4 * ( 3 * 3 - 1 * 5 )

- 6 * ( -1 * 3 - 1 * 5 )

+ 5 * ( -1 * 5 - 3 * 5 ) =

= 4 * ( 9 - 5 )

- 6 * ( -3 - 5 )

+ 5 * ( -5 - 15 ) =

= 16

+ 48

- 100 =

= -36

5. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 1.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам столбца 1. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 1

Элемент

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{1 + 1}

-1

		5	3
		6	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 1

Элемент

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{2 + 1}

		3	1
		6	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

		3	1
		5	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 1} * ( -1) *		5	3
		6	5

+ ( -1) ^{2 + 1} * 5 *		3	1
		6	5

+ ( -1) ^{3 + 1} * 4 *		3	1		=
		5	3

= -		5	3
		6	5

- 5 *		3	1
		6	5

+ 4 *		3	1		=
		5	3

= - ( 5 * 5 - 3 * 6 )

- 5 * ( 3 * 5 - 1 * 6 )

+ 4 * ( 3 * 3 - 1 * 5 ) =

= - ( 25 - 18 )

- 5 * ( 15 - 6 )

+ 4 * ( 9 - 5 ) =

= -7

- 45

+ 16 =

= -36

6. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 2.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам столбца 2. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 2

Элемент

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{1 + 2}

		5	3
		4	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 2

Элемент

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{2 + 2}

		-1	1
		4	5

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		-1	1
		5	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 2} * 3 *		5	3
		4	5

+ ( -1) ^{2 + 2} * 5 *		-1	1
		4	5

+ ( -1) ^{3 + 2} * 6 *		-1	1		=
		5	3

= - 3 *		5	3
		4	5

+ 5 *		-1	1
		4	5

- 6 *		-1	1		=
		5	3

= - 3 * ( 5 * 5 - 3 * 4 )

+ 5 * ( -1 * 5 - 1 * 4 )

- 6 * ( -1 * 3 - 1 * 5 ) =

= - 3 * ( 25 - 12 )

+ 5 * ( -5 - 4 )

- 6 * ( -3 - 5 ) =

= -39

- 45

+ 48 =

= -36

7. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 3.

det A =	-1	3	1	=
	5	5	3
	4	6	5

Разложим определитель по элементам столбца 3. подробнее

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

		5	5
		4	6

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		-1	3
		4	6

-1	3	1
5	5	3
4	6	5

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		-1	3
		5	5

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 3} * 1 *		5	5
		4	6

+ ( -1) ^{2 + 3} * 3 *		-1	3
		4	6

+ ( -1) ^{3 + 3} * 5 *		-1	3		=
		5	5

=		5	5
		4	6

- 3 *		-1	3
		4	6

+ 5 *		-1	3		=
		5	5

= ( 5 * 6 - 5 * 4 )

- 3 * ( -1 * 6 - 3 * 4 )

+ 5 * ( -1 * 5 - 3 * 5 ) =

= ( 30 - 20 )

- 3 * ( -6 - 12 )

+ 5 * ( -5 - 15 ) =

= 10

+ 54

- 100 =

= -36

Перейти к решению своей задачи

Наверх

Сервис для решения задач по линейному программированию

Пример №1. Вычисление определителя третьего порядка