WWW.RESHMAT.RU

Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ КНИГИ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №3. нахождение обратной матрицы четвертого порядка методом Гусса.

Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Пример №1. Нахождение обратной матрицы второго порядка методом Гусса.
Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом Гусса.
Пример №3. нахождение обратной матрицы четвертого порядка методом Гусса.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.


перейти к решению своей задачи

Исходная матрица А.
A =
1
3
0
2
2
0
1
0
- 1
- 2
0
2
1
2
- 3
2

Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.
Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.
Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.
Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.
Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.

1
3
0
2
1
0
0
0
2
0
1
0
0
1
0
0
- 1
- 2
0
2
0
0
1
0
1
2
- 3
2
0
0
0
1

  • Рассмотрим столбец 1.
    • Поменяем местами строки   1   и   4 .
    1
    2
    - 3
    2
    0
    0
    0
    1
    2
    0
    1
    0
    0
    1
    0
    0
    - 1
    - 2
    0
    2
    0
    0
    1
    0
    1
    3
    0
    2
    1
    0
    0
    0

    К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -2.
    1
    2
    - 3
    2
    0
    0
    0
    1
    0
    - 4
    7
    - 4
    0
    1
    0
    - 2
    - 1
    - 2
    0
    2
    0
    0
    1
    0
    1
    3
    0
    2
    1
    0
    0
    0

    К элементам строки 3 прибавим соответствующие элементы строки 1.
    1
    2
    - 3
    2
    0
    0
    0
    1
    0
    - 4
    7
    - 4
    0
    1
    0
    - 2
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    1
    3
    0
    2
    1
    0
    0
    0

    К элементам стороки 4 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -1.
    1
    2
    - 3
    2
    0
    0
    0
    1
    0
    - 4
    7
    - 4
    0
    1
    0
    - 2
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1


  • Рассмотрим столбец 2.
    • Поменяем местами строки   2   и   4 .
    1
    2
    - 3
    2
    0
    0
    0
    1
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    0
    - 4
    7
    - 4
    0
    1
    0
    - 2

    К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2 умноженные на -2.
    1
    0
    - 9
    2
    - 2
    0
    0
    3
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    0
    - 4
    7
    - 4
    0
    1
    0
    - 2

    К элементам стороки 4 прибавим соответствующие элементы строки 2 умноженные на 4.
    1
    0
    - 9
    2
    - 2
    0
    0
    3
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    0
    0
    19
    - 4
    4
    1
    0
    - 6


  • Рассмотрим столбец 3.
    • Постараемся выполнять преобразования матрицы в целых числах. Поступим следующим образом:
    К элементам строки 4 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на 6.
    1
    0
    - 9
    2
    - 2
    0
    0
    3
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0

    Поменяем местами строки   3   и   4 .
    1
    0
    - 9
    2
    - 2
    0
    0
    3
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1

    К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на 9.
    1
    0
    0
    182
    34
    9
    54
    3
    0
    1
    3
    0
    1
    0
    0
    - 1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1

    К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -3.
    1
    0
    0
    182
    34
    9
    54
    3
    0
    1
    0
    - 60
    - 11
    - 3
    - 18
    - 1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    - 3
    4
    0
    0
    1
    1

    К элементам стороки 4 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на 3.
    1
    0
    0
    182
    34
    9
    54
    3
    0
    1
    0
    - 60
    - 11
    - 3
    - 18
    - 1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    0
    64
    12
    3
    19
    1


  • Рассмотрим столбец 4.
    • К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 4 умноженные на -91/32.
    1
    0
    0
    0
    - 1
    8
    15
    32
    - 1
    32
    5
    32
    0
    1
    0
    - 60
    - 11
    - 3
    - 18
    - 1
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    0
    64
    12
    3
    19
    1

    К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 4 умноженные на 15/16.
    1
    0
    0
    0
    - 1
    8
    15
    32
    - 1
    32
    5
    32
    0
    1
    0
    0
    1
    4
    - 3
    16
    - 3
    16
    - 1
    16
    0
    0
    1
    20
    4
    1
    6
    0
    0
    0
    0
    64
    12
    3
    19
    1

    К элементам стороки 3 прибавим соответствующие элементы строки 4 умноженные на -5/16.
    1
    0
    0
    0
    - 1
    8
    15
    32
    - 1
    32
    5
    32
    0
    1
    0
    0
    1
    4
    - 3
    16
    - 3
    16
    - 1
    16
    0
    0
    1
    0
    1
    4
    1
    16
    1
    16
    - 5
    16
    0
    0
    0
    64
    12
    3
    19
    1


    Элементы строки 4 разделим на    64 .
    1
    0
    0
    0
    - 1
    8
    15
    32
    - 1
    32
    5
    32
    0
    1
    0
    0
    1
    4
    - 3
    16
    - 3
    16
    - 1
    16
    0
    0
    1
    0
    1
    4
    1
    16
    1
    16
    - 5
    16
    0
    0
    0
    1
    3
    16
    3
    64
    19
    64
    1
    64

    Ответ :
    A-1 =
    - 1
    8
    15
    32
    - 1
    32
    5
    32
    1
    4
    - 3
    16
    - 3
    16
    - 1
    16
    1
    4
    1
    16
    1
    16
    - 5
    16
    3
    16
    3
    64
    19
    64
    1
    64

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2011, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100