Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример №3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. (система имеет множество решений)


Метод Гаусса. (Решение системы линейных уравнений)

Пример №1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. (система имеет единственное решение). Пример №1, но методом Жордана - Гаусса
Пример №2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. (система не имеет решений). Пример №2, но методом Жордана - Гаусса
Пример №3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. (система имеет множество решений) Пример №3, но методом Жордана - Гаусса

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Решим систему уравнений
2 x1 - 2 x2 + 2 x3 = 9
3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 7
3 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 8
Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.
На втором этапе решения (обратный ход) мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.
Последовательность исключения переменных, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками коэффициентам системы.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений. Расширенная матрица - это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более (каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы). Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.

Прямой ход.
Запишем исходную систему.
2 x1 - 2 x2 + 2 x3 = 9
3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 7
3 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 8
2
- 2
2
0
9
3
5
2
1
7
3
4
1
1
8

  • Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
    • Очевидно, решать систему уравнений в целых числах удобнее. Поступим следующим образом:
    Умножим коэффициенты уравнения 2 на -1 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 1.
    - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 7
    3 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 8
    - 1
    - 7
    0
    - 1
    2
    3
    5
    2
    1
    7
    3
    4
    1
    1
    8
    Умножим коэффициенты уравнения 1 на 3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.
    - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    - 16 x2 + 2 x3 - 2 x4 = 13
    3 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 8
    - 1
    - 7
    0
    - 1
    2
    0
    - 16
    2
    - 2
    13
    3
    4
    1
    1
    8
    Умножим коэффициенты уравнения 1 на 3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
    - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    - 16 x2 + 2 x3 - 2 x4 = 13
    - 17 x2 + x3 - 2 x4 = 14
    - 1
    - 7
    0
    - 1
    2
    0
    - 16
    2
    - 2
    13
    0
    - 17
    1
    - 2
    14

  • Исключим переменную x2 из последнего уравнения.
    • Очевидно, решать систему уравнений в целых числах удобнее. Поступим следующим образом:
    Умножим коэффициенты уравнения 3 на -1 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.
    - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    x2 + x3 = - 1
    - 17 x2 + x3 - 2 x4 = 14
    - 1
    - 7
    0
    - 1
    2
    0
    1
    1
    0
    - 1
    0
    - 17
    1
    - 2
    14
    Умножим коэффициенты уравнения 2 на 17 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
    - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    x2 + x3 = - 1
    18 x3 - 2 x4 = - 3
    - 1
    - 7
    0
    - 1
    2
    0
    1
    1
    0
    - 1
    0
    0
    18
    - 2
    - 3


    Обратный ход.

  • Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:
    • 18 x3 - 2 x4 = - 3
    Из данного уравнения , найдем значение переменной x3.
    18 x3 = 2 x4 - 3
    x3 = 1/9 x4 - 1/6

  • Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:
    • x2 + x3 = - 1
    Из данного уравнения , найдем значение переменной x2.
    x2 = - x3 - 1
    Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
    x2 = - (
    1/9 x4 - 1/6
    		) - 1
    x2 = - 1/9 x4 - 5/6

  • Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:
    • - x1 - 7 x2 - x4 = 2
    Из данного уравнения , найдем значение переменной x1.
    - x1 = 7 x2 + x4 + 2
    x1 = - 7 x2 - x4 - 2
    Подставим, ранее найденное, значение переменной x2.
    x1 = - 7 * (
    - 1/9 x4 - 5/6
    		) - x4 - 2
    x1 = - 2/9 x4 + 23/6

    Ответ :
    x1 = - 2/9 x4 + 23/6
    x2 = - 1/9 x4 - 5/6
    x3 = 1/9 x4 - 1/6
    x4 - свободная переменная

    Выбрав для свободной переменной произвольное значение, Вы можете получить частное решение данной системы.
    Как Вы понимаете, в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

    Запишем ответ в десятичных дробях :
    x1 = - 0.222222222222222 x4 + 3.83333333333333
    x2 = - 0.111111111111111 x4 - 0.833333333333333
    x3 = 0.111111111111111 x4 - 0.166666666666667

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100