Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №1. Решение системы уравнений методом Гаусса (единственное решение).

Метод Гаусса.
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Гаусса.

Знак системы 2 x1 + x2 - x3 = 2
3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
x1 + x3 = 3
Решение:
Процесс решения системы уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.
Каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы (сравните сами).
Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.
  • Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
  • Поменяем местами уравнения   1   и   3   (порядок уравнений в системе не имеет значения).
    Знак системы x1 + x3 = 3
    3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
    2 x1 + x2 - x3 = 2
    Знак системы 1 0 1 3 Знак системы
    3 1 -2 3
    2 1 -1 2
    Из уравнения 2 вычитаем уравнение 1, умноженное на 3.
    Знак системы x1 + x3 = 3
    x2 - 5 x3 = -6
    2 x1 + x2 - x3 = 2
    Знак системы 1 0 1 3 Знак системы
    0 1 -5 -6
    2 1 -1 2
    Из уравнения 3 вычитаем уравнение 1, умноженное на 2.
    Знак системы x1 + x3 = 3
    x2 - 5 x3 = -6
    x2 - 3 x3 = -4
    Знак системы 1 0 1 3 Знак системы
    0 1 -5 -6
    0 1 -3 -4
  • Исключим переменную x2 из последнего уравнения.
  • Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2.
    Знак системы x1 + x3 = 3
    x2 - 5 x3 = -6
    2 x3 = 2
    Знак системы 1 0 1 3 Знак системы
    0 1 -5 -6
    0 0 2 2
    Если посмотреть на получившеюся систему, то видно, что она приведена к ступенчатому виду.
    Данное обстоятельство позволит последовательно найти значения переменных.
    Начнем с последнего уравнения.
  • Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы.
  • 2 x3 = 2
    x3 = 1
  • Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы.
  • x2 - 5 x3 = - 6
    Из данного уравнения найдем значение переменной x2.
    x2 = 5 x3 - 6
    Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
    x2 = 5 *
    1
    - 6
    x2 = - 1
  • Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы.
  • x1 + x3 = 3
    Из данного уравнения найдем значение переменной x1.
    x1 = - x3 + 3
    Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
    x1 = -
    1
    + 3
    x1 = 2

    Ответ:

    x1 = 2
    x2 = - 1
    x3 = 1