Решение задач по математике онлайн
ГЛАВНАЯ ССЫЛКИ
  Главная   >>   Пример решения системы уравнений методом обратной матрицы.


Метод обратной матрицы. (Решение систем линейных уравнений)
Пример №1. Решение системы уравнений методом обратной матрицы.(нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений)
Пример №2. Решение системы уравнений методом обратной матрицы.(нахождение обратной матрицы методом Гаусса)

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

перейти к решению своей задачи

Решим систему уравнений
3 x1 - x2   = 5
-2 x1 + x2 + x3 = 0
2 x1 - x2 + 4 x3 = 15

Запишем систему уравнений в матричной форме
A * X = B
3
- 1
0
     *
- 2
1
1
2
- 1
4
x1
     =
x2
x3
5
0
15
Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом Гаусса
A =
3
- 1
0
- 2
1
1
2
- 1
4

Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.
Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.
Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.
Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.

3
- 1
0
1
0
0
- 2
1
1
0
1
0
2
- 1
4
0
0
1

  • Рассмотрим столбец 1.
    • Постараемся выполнять преобразования матрицы в целых числах. Поступим следующим образом:
    К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    - 2
    1
    1
    0
    1
    0
    2
    - 1
    4
    0
    0
    1

    К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на 2.
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    0
    1
    3
    2
    3
    0
    2
    - 1
    4
    0
    0
    1

    К элементам стороки 3 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -2.
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    0
    1
    3
    2
    3
    0
    0
    - 1
    2
    - 2
    - 2
    1


  • Рассмотрим столбец 2.
    • Поменяем местами строки   2   и   3 .
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    0
    - 1
    2
    - 2
    - 2
    1
    0
    1
    3
    2
    3
    0

    К элементам строки 3 прибавим соответствующие элементы строки 2.
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    0
    - 1
    2
    - 2
    - 2
    1
    0
    0
    5
    0
    1
    1


  • Рассмотрим столбец 3.
    • К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -1/5.
    1
    0
    0
    1
    4
    5
    - 1
    5
    0
    - 1
    2
    - 2
    - 2
    1
    0
    0
    5
    0
    1
    1

    К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -2/5.
    1
    0
    0
    1
    4
    5
    - 1
    5
    0
    - 1
    0
    - 2
    - 12
    5
    3
    5
    0
    0
    5
    0
    1
    1


    Элементы строки 2 разделим на    -1 .
    1
    0
    0
    1
    4
    5
    - 1
    5
    0
    1
    0
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    0
    5
    0
    1
    1

    Элементы строки 3 разделим на    5 .
    1
    0
    0
    1
    4
    5
    - 1
    5
    0
    1
    0
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    0
    1
    0
    1
    5
    1
    5

    Осталось, только записать обратную матрицу.
    A-1 =
    1
    4
    5
    - 1
    5
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    1
    5
    1
    5

    Вернемся к нашему уравнению, которое мы записали в матричной форме.
    A * X = B
    Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1
    A-1 * A * X = A-1 * B
    1
    4
    5
    - 1
    5
    		     *
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    1
    5
    1
    5
    3
    - 1
    0
    		     *
    - 2
    1
    1
    2
    - 1
    4
    x1
    		     =
    x2
    x3
    1
    4
    5
    - 1
    5
    		     *
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    1
    5
    1
    5
    5
    0
    15
    Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т.е. A-1 * A = Е, следовательно
    X = A-1 * B
    x1
    		     =
    x2
    x3
    1
    4
    5
    - 1
    5
    		     *
    2
    12
    5
    - 3
    5
    0
    1
    5
    1
    5
    5
    0
    15

    x1 =
    1
    		*
    5
    		+
    4
    5
    		*
    0
    		+
    ( - 1 )
    5
    		*
    15
    		=
    5
    		+
    0
    		+
    ( - 3 )
    		=
    2
    x2 =
    2
    		*
    5
    		+
    12
    5
    		*
    0
    		+
    ( - 3 )
    5
    		*
    15
    		=
    10
    		+
    0
    		+
    ( - 9 )
    		=
    1
    x3 =
    0
    		*
    5
    		+
    1
    5
    		*
    0
    		+
    1
    5
    		*
    15
    		=
    0
    		+
    0
    		+
    3
    		=
    3

    Ответ :
    x1 = 2
    x2 = 1
    x3 = 3

    перейти к решению своей задачи





    Copyright © 2010-2012, www.reshmat.ru
    При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
    обратная связь
    Яндекс цитирования Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100