|
Пример №1. Решение системы уравнений методом обратной матрицы.(нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений)
|
|
|
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
 | 3 x1 | - x2 | | = | 5 | | -2 x1 | + x2 | + x3 | = | 0 | | 2 x1 | - x2 | + 4 x3 | = | 15 |
| Запишем систему уравнений в матричной форме |
| Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений |
| Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij. |
| A = |
 | | | |
 |
|
| | | | | |
| Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде: |
| A -1 = 1 / det A * |
| | | |
|
|
| | | | | |
| где Aij = ( -1 ) i+j * M ij |
| Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю , то обратной матрицы не существует. |
| М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.
|
| Найдем определитель матрицы А. |
| det A = |
| 3 | -1 | 0 | |
= |
| -2 | 1 | 1 | | 2 | -1 | 4 |
| К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 2. |
| Разлагаем определитель по элементам первого столбца. |
| = ( - 1 )1+1 * 1* |
| 1 | 1 | |
+ |
| -1 | 4 |
|
| ( - 1 )2+1 * 0* |
| -1 | 0 | |
+ |
| -1 | 4 |
|
| ( - 1 )3+1 * 0* |
| -1 | 0 | |
= |
| 1 | 1 |
|
| = 1* ( 1 * 4 - 1 * ( -1) ) = |
| Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует. |
| Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M11 ) элемента a11. |
| M11 = |
| 1 | 1 | |
= 1 * 4 - 1 * ( -1) = 4 - ( -1) = 5 |
| -1 | 4 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента. |
| A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 1+1 * 5 = 5 |
| Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M12 ) элемента a12. |
| M12 = |
| -2 | 1 | |
= ( -2) * 4 - 1 * 2 = ( -8) - 2 = -10 |
| 2 | 4 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. |
| A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 1+2 * ( -10) = 10 |
| Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M13 ) элемента a13. |
| M13 = |
| -2 | 1 | |
= ( -2) * ( -1) - 1 * 2 = 2 - 2 = 0 |
| 2 | -1 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a13, есть число четное ( 1 + 3 = 4 ) и выражение ( -1 )1+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a13 равно минору данного элемента. |
| A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 1+3 * 0 = 0 |
| Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M21 ) элемента a21. |
| M21 = |
| -1 | 0 | |
= ( -1) * 4 - 0 * ( -1) = ( -4) - 0 = -4 |
| -1 | 4 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a21, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. |
| A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 2+1 * ( -4) = 4 |
| Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M22 ) элемента a22. |
| M22 = |
| 3 | 0 | |
= 3 * 4 - 0 * 2 = 12 - 0 = 12 |
| 2 | 4 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a22, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a22 равно минору данного элемента. |
| A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 2+2 * 12 = 12 |
| Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M23 ) элемента a23. |
| M23 = |
| 3 | -1 | |
= 3 * ( -1) - ( -1) * 2 = ( -3) - ( -2) = -1 |
| 2 | -1 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a23, есть число нечетное ( 2 + 3 = 5 ) и выражение ( -1 )2+3 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a23 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. |
| A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 2+3 * ( -1) = 1 |
| Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M31 ) элемента a31. |
| M31 = |
| -1 | 0 | |
= ( -1) * 1 - 0 * 1 = ( -1) - 0 = -1 |
| 1 | 1 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a31, есть число четное ( 3 + 1 = 4 ) и выражение ( -1 )3+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a31 равно минору данного элемента. |
| A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 3+1 * ( -1) = -1 |
| Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M32 ) элемента a32. |
| M32 = |
| 3 | 0 | |
= 3 * 1 - 0 * ( -2) = 3 - 0 = 3 |
| -2 | 1 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a32, есть число нечетное ( 3 + 2 = 5 ) и выражение ( -1 )3+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a32 равно минору данного элемента взятого со знаком минус. |
| A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 3+2 * 3 = -3 |
| Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. |
| A = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M33 ) элемента a33. |
| M33 = |
| 3 | -1 | |
= 3 * 1 - ( -1) * ( -2) = 3 - 2 = 1 |
| -2 | 1 |
| Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a33, есть число четное ( 3 + 3 = 6 ) и выражение ( -1 )3+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a33 равно минору данного элемента. |
| A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 3+3 * 1 = 1 |
| Осталось, только записать обратную матрицу. |
| A -1 = 1 / 5 * |
| | | |
|
|
| | | | | |
| A -1 = |
| | | |
|
|
| | | | | |
| Вернемся к нашему уравнению, которое мы записали в матричной форме. |
| Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1 |
| Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т.е. A-1 * A = Е, следовательно |
|
